III. Formules pour trouver l'élement des furfaces courbes l'élement des folides. cy 614. POUR avoir la formule de l'élement des surfaces courbes, Pe. XLII. on fuppofera que exprime le raport du rayon à la circonference, ainfi r. c:: BC(y). à la circonference qui eft la bafe de la petite zone. Multipliant par Cc (du) largeur de la petite zone, on aura du, pour la formule qui fera trouver l'element des furfaces courbes; & comme l'on fuppose que les lignes BC(y) paralleles entr'elles, font perpendiculaires fur l'axe ou fur les x, on peut mettre la valeur de du √dx2 + dy2 à la place de du, & la formule fera encore Vdx2 + dy2. 615. POUR 2o. Pour l'èlement des folides. OUR trouver la formule de l'élement des folides, on FIG. XLII. fuppofera que exprime le raport du quarré du diametre au cercle dont il est le diametre, ainsi R. C :: 2Bc (2y × 2y R =4y2). = au cercle qui est la base du petit cylindre, qui eft l'élement du folide, duquel cercle y eft le rayon, & 2y le diametre. Multipliant cette base par la hauteur Bb(dx) de ce petit cylindre, on aura 4 dx, pour la formule qui fera trouver l'element des folides. 616. EN 605. R REMARQUES. N nommant la circonference d'un cercle c, & le rayon r, eft l'expreffion du raport du rayon à la circonference; & comme l'aire du cercle *il eft clair que le raport du quarré du diametre 27 à l'aire du cercle eft 4" = Cr 8 r 617. Quand l'axe de revolution n'est pas une des droites qui FIG. XLII. fait une partie du circuit du plan qui tourne autour de cet axe, mais qu'elle le touche ou le coupe feulement en un point, comme dans le cas où le plan Abc tourne autour de l'axe AR, R ou de l'axe Rc; ou bien quand c'eft le plan ARc qui tourne III. que Où l'on donne une feconde formule pour trouver l'element 618. POUR faire concevoir clairement cette seconde methode, FIG. XLII, dont les exterieurs renferment les interieurs. On trouvera la formule pour avoir cet élement, en fuppofant que exprime le raport du rayon à la circonference; & faisant r. c :: AB(y), ce 4° terme exprime la circonference qui est la bafe de chaque petit cylindre creux; la multipliant par l'épaiffeur Bc (dy), on aura la petite couronne qui eft la base du petit cylindre; & enfin multipliant cette bafe dy par la hauteur BC(x) du petit cylindre, on aura dy pour la feconde formule qui fera trouver l'element du folide. Ce que l'on vient de dire de ce folide doit être appliqué aux autres par raport à leurs axes. Quand l'axe touche ou coupe la courbe en un point,comme AR, RC, on n'aura befoin que de la formule pour trouver l'élement du folide,& l'integrale de cet élement fera le folide; mais quand l'axe ne touchera pas la courbe, il y aura un vuide entre l'axe & le folide, & alors le folide & le vuide feront un cylindre, ou le feul vuide fera un cylindre, & l'on trouvera le cylindre par la Geometrie ordinaire, & l'autre folide par la formule & par l'integrale de l'élement que fera trouver la formule; & ôtant le moindre du plus grand, on aura le folide que l'on cherchoit. USAGE DES FORMULES. 619. Pour trouver par les formules précedentes l'élement de POUR la furface courbe, & l'élement du folide formé par la revolution d'un plan borné par des lignes droites & par une courbe ou une partie de courbe, ou par une feule courbe comme le cercle, ou l'ellipfe, &c. il faut par le moyen de l'équation de cette courbe, trouver les valeurs des changeantes & des differentielles des formules, de maniere que ces valeurs ne contiennent qu'une même changeante & fa difference, & fubftituer ces valeurs dans les formules, & l'on aura, aprés la fubftitution, l'élement de la furface ou du folide que l'on cherche. Il ne faudra plus qu'en trouver l'integrale pour avoir la furface ou le folide. 620. Pour trouver, par exemple, la furface de la sphere formée FLO.XXXV. par la revolution de la demi-circonference AME autour de l'axe ACE; on nommera l'axe AE (2a), la circonference EMFA(u), AB(x), BF (y); ce qui donnera BG=Fi=dx, Fg du; & l'équation du cercle fera yy➡zax — xx, = 621. &y=√zax-xx ; & l'on trouvera * du = adx √zax - xx adx √2ax -xx On *588. du, fubftituera les valeurs de y & de du dans la formule Pour trouver la folidité de la fphere en fuppofant les F16. XXXV. mêmes dénominations, il n'y a qu'à fubftituer dans la for mule de l'élement des folides 4yydx, la valeur de yy = 2ax 4C R น 4C X xx, & l'on aura dx x 2ax-xx pour l'élement de la folidité de la sphere, dont l'integrale* 41 × 2axx — 7×3, * 532% fera connoître la solidité de la sphere en fuppofant =*, *6164 que c est égale à la circonference u de la sphere, régale au demi-axea, & que AB(x)=AE= 2a, car cette integrale deviendra 4 × 1 × 8a3 — 11 × 1 × 823 aau, qui fait voir la folidité de la sphere est égale au produit 22× de sa furface para le tiers du rayon. que 44 8 a 1 Si l'on veut fe fervir de la feconde formule xydy, on me- FIG. XXXV, nera par le centre c la perpendiculaire CMà l'axe fur laquelle fe prendront les y & dy; & l'on imaginera fur tous les points de CM des perpendiculaires jufqu'à la circonference, qui feront les hauteurs des furfaces cylindriques, & qu'on nommera x; & l'équation du cercle étant yyaa-xx, on -xdx On fubftituera ces aura y=Vaa xx, & dy Jaa-xx valeurs de y & de dy dans la formule dy, & l'on aura l'éle- TTtt iij IV. Les formules pour trouver le centre de pefanteur. 622. ON fuppofe comme une chofe évidente, que le centre de pefanteur d'une ligne, ou, fi l'on veut, d'un prisme ou d'un cylindre, dont l'épaiffeur eft fi petite qu'on le peut prendre pour une ligne fenfible, eft au milieu de la ligne; que le centre de pefanteur d'un rectangle dont la largeur eft infini ment petite, eft dans la ligne qui le coupe perpendiculairement par le milieu des deux côtés les plus longs; que le centre de pefanteur d'un cercle qui a une épaifleur infiniment petite, eft dans la perpendiculaire à fon plan, laquelle l'enfile par le centre, c'est à dire dans l'axe de ce cylindre d'une hauteur infiniment petite; que le centre d'une circonference qui eft comme une zone d'une tres petite largeur, eft auffi fon centre de pefanteur: car il eft clair qu'il y a des pefanteurs égales & des efforts égaux des côtés oppofés de tous les centres de pefanteur dont on vient de parler. Il fuit de là que la ligne qui coupe perpendiculairement toutes les ordonnées d'une courbe chacune par le milieu, paffe par le centre de pefanteur de la figure plane curviligne que forme cette courbe fi elle rentre en elle-même, ou de la figure plane mixte formée par la courbe & par la plus grande ordonnée qui fe termine de part & d'autre à la courbe; qu'elle paffe auffi par le centre de pefanteur de tous les points ou de toutes les parties infiniment petites dont le circuit de la courbe eft compofé, c'eft à dire par le centre de pefanteur de la courbe, fuppofant que le dedans en eft vuide; qu'elle pafle par le centre de pefanteur du folide formé par la revolution de la figure plane que forme la courbe autour de cette ligne prife pour l'axe, & par le centre de pefanteur de la furface courbe de ce folide; enfin qu'elle paffe par centre de pefanteur de chacun des élemens de la courbe, de chacun des élemens de la figure plane que forme la courbe, de chacun des élemens du folide formé par la revolution de cette figure plane autour de cette ligne prife pour axe, & de chacun des elemens de la furface courbe de ce folide. le D'où il fuit qu'en concevant un plan perpendiculaire à cette ligne qui paffe par les centres de pefanteur des élemens d'une courbe, d'une figure plane ou folide, & d'une furface courbe, la partie de cette ligne depuis ce plan per |