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pendiculaire au sommet ou hors de la figure jusqu'à chaque
element, sera la distance du centre de pesanteur de chaque
element jusqu'à ce plan : Ainsi prenant l'origine de cette
ligne des distances des centres de pesanteur des élemens, au
point où elle est coupée par le plan perpendiculaire, qu'on
Tupposera être ici la même que l'origine des x de la figure,
& nommant ces distances x; prenant aussi ces élemens pour
les petits poids dont la courbe , ou la figure plane , ou le
solide , ou la surface courbe est composée, la somme des
produits des x, chacune par son élement*, est égale au pro- * 338, 6
duit de la distance du centre de pesanteur par la somme des 339.
élemens. Ainsi la somme des produits des x multipliées chacune
par fon élement, étant divisée par la somme des élemens, donnera
pour quotient la distance du centre de pesanteur de la somme des
élemens; c'est à dire, la distance depuis l'origine des x. Or
la somme des élemens d'une courbe, c'est la courbe même,
& c'est la même chose des figures planes ou solides & des

surfaces courbes.
623. Nommant donc x les coupées prises sur la perpendiculaire

qui divise les ordonnées par le milieu , y chacune des ordon-
nées, u la courbe , Saxelmon sera la formule pour trouver le centre
de pesanteur des courbes. S. xydsera la formule pour trouver le cen-

S.xydu
tre de pesanteur des figures planes, S. - ydu

sera la formule pour

S. xyydx
trouver le centre de pesanteur des surfaces courbes.
S. įr xyydx

sera la formule pour trouver le centre de * 616.
S. Fyydx
pesanteur des solides.

USAGE DES FORMULES.
624. Il faut prendre dans les équations des courbes dont on

cherchera le centre de pesanteur, les valeurs des changean-
tes & des differentielles des formules, & faire en sorte que
ces valeurs soient exprimées par une même changeante &
par

sa difference, & les substituer dans les formules, & il ne
restera plus qu'à prendre les integrales du numerateur & du
dénominateur, qu'on a marquées par S. qui signifie somme,
& à les diviser l'une par l'autre; & l'on aura la distance du
centre de pesanteur.

S. 46

Ryydx

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ou bien*

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.

XX,

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с

x 2ax

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2r

Par exemple pour trouver le centre de pesanteur d'une demi-sphere, l'équation du cercle érant yy = 2ax la S. , xyydx

S. , * 2axx formule

****dx deviendra S. myydx

S.

xxx dx 6532. l'integrale du numerateur est*axi — ** ; l'integrale du dénominateur est « axx 6 x?, & la distance du centre Fax} - $** *ax- xx

Sax - 3xx de pesanteur est ir uxx1/ /a - 1 x

4x & x étant égal au rayon a dans la demi- fphere, cette distance sera ça.

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.

X

124

6r

SECTION IV.
l'on explique la maniere de trouver les suites qui sont

les integrales des élemens qu'on trouve par les formules
de la section précedente ; & en même temps l'usage des
methodes des

suites du second Problême du septiéme Livre art. 175, pour la résolution des Problemes de la Geometrie, de l'Astronomie, &c. On explique aussi les logarithmes byperboliques

.

A VERTISSEMENT. 625. QUAND

on peut trouver par les methodes qu'on donnera dans la troisiéme Partie , les integrales des élemens de la longueur des courbes, de leur aire, de la solidité des corps qui se forment par leur revolution, & des surfaces courbes de ces corps; lesquels elemens se trouvent par les formules precedentes; on a la rectification des courbes, leur quadracure, la solidité des corps qui se forment par leur revolution, & l'aire des surfaces courbes de ces corps, & l'on a ausli la distance de leur centre de pesanteur par le moyen de la formule pour trouver cette distance: mais il y a beaucoup

de ces courbes qui ont des élemens dont on n'a pu trouver les integrales , comme l'élement de la longueur de la circonference ou d'un arc de circonference, les élemens des longueurs de la parabole, de l’ellipse, de l'hyberbole; les elemens de leurs aires, excepté celui de la parabole; les

elemens

1

élemens de leurs secteurs, &c. ce qui leur est commun avec
beaucoup d'autres courbes plus composées geometriques &
méchaniques: Alors on peut par le moyen de ces élemens &
par

les niethodes du second Problême du septiéme Livre,
art. 175, trouver par le calcul, des suites qui expriment ces
integrales, & qui en approchent autant près qu'on voudra.
On peut encore par les mêmes moyens trouver les valeurs
des lignes droites inconnues qui entrent dans ces élemens,
& de celles qu'on y peut faire entrer : ce qui donne la réso.
lution d'un tres grand nombre de Problêmes tres utiles, dont
on en va mettre ici quelques-uns qui serviront aux Lecteurs
à resoudre les autres semblables.

I.
Problémes l'on se sert des élemens des longueurs des courbes
pour trouver ces longueurs, & les lignes inconnues

qui entrent ou peuvent entrer dans ces élemens. TROUVER la longueur d'un arc exprimée par sa tangente. 626. En nommant la

n nommant la tangente eN(x), ou, pour mieux marquer Fro. XLI, la tangente, la nommant(t), & le rayon OR (), l'arc eR(u), l'element de l'arc est * dx=, qui se réduit à produktividu 590.

r=0. Pour trouver eR(u), on supposera* u = at + 6+3 * +<t'+et+ &c. & l'on trouvera par les methodes du Pro. blême 175, u =t

izrot + sont – hot? + &c. & li l'on suppose le rayon OR=1, l'on aura sR(u)=+ft. &c.

La même longueur exprimée par le sinus droit. 627. En nomniant le sinus BF(x) de l'arc AF qu'on nominiera (), Fig.XXXY.

& le rayon AC(1), CB sera Vī — xx; & les triangles sem-
blables CBF, Fgi donneront CB(VI — xx).CF (1):: gi(dx)
· F3(du) = , qui se réduit à 1 -

50. On
trouvera la longueur de l'arc A F(u) =*+¿x} + do xs
+ ijzx?+ 1152x + &c. ou bien u=x+ 2 x 3 x + ;

+ 2*******7*?, &c. comme dans l'art. 229, où cette equa-
tion sert d’exemple; on y marque par y & dy' ce qui est ici
marqué par * & par d x; & par dx? ce qui eft ici marque

175.

du?
dx2

xxdu
dx2

2 X3x + x

par du'.

3 X3 2 X 3 X 4 X 54

its

3X3 X5 XS
2X3 X4 X5 X 6X706

x? +

3X3XSXSX7x7
2 X3 X4 X5 X6X7 X 8 X 918

Id.x

VI-XX

Si l'on vouloit que le rayon fût exprimé par une letere & non par l'unité, l'on trouveroit l'arc AF(u) = x+

=x+61 x) + 206 x' + 11275* + 1}2x8x' +&c.qu'on peut réduire à cette expression équivalente u=x + 2x377*+

5

xat &c. On peut trouver de même l'expression de l'arc AF par le sinus de complement CB, comme aussi par le sinus verse AB.

La même longueur exprimée par la corde. 628. EN

N nommant le diametre AE(1), la corde AH(*), l'arc Fig. XLI. AH(u), les triangles semblables * AHE, LHF donneront *589. EHVI — **). AE(1):: LF(dx). HF(du)= qui

se réduit à I r- dan u teretaneo, qui est semblable à l'équation précedente ; & l'on trouvera par consequent la même suite pour la longueur de l'arc AH(u).

Si l'on vouloir que le diametre A e fût exprimé par une lettre D, on trouveroit l'arc AH(u)=x+

=x+6E x + obt xos + DX' + da x' + &c. qu'on peut réduire à cette expression équivalente AH(u) =x+ 2xy Dix' + 4*?

5+ &c. & encoré à celle-ci AH (u) =x + 2x}dAxx + Bxx

Cxx + 5D Exx + &c. dans laquelle A signifie tout le premier terme x, qui multiplie le second; B, tout le second terme , x} Di Axx, par lequel se troisiéme eft multiplié; ; C, tout le troisiéme; & ainsi des lettres capitales suivantes ; ce qui sert à abreger les formules, & à faire connoître la maniere facile de les continuer.

3X3

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3X3XS XS
2 X3 X4 X5 X 6X709

3X3XSXSX7 X7
2 X3 X4 X5 X 6 X 7 X 8 X 908

3X3 4XSD?

SXs 6X 7D?

Fig. XXXV.

& LXI.

629. TROUVER la longueur de l'une des lignes inconnues de l'élement,

comme du finus droit BF(x); ou de la corde AH(x) exprimée par

la longueur de l'arc AF ou de l'arc AH, qu’on supposera connus. Fig. xxxv. Il faut se servir de la methode du retour des suites 234, & & XLI, l'on trouvera le sinus droit BF(x), ou la corde AH(*) =užu? + cu tatou

&c. u eft l'arc AF OU AH. Si l'on veut exprimer le rayon par la lettrer, l'on aura BF(x)=u-ru' + izoriu' - &c. Si l'on

us

OM? + 362880

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Aun
2 X irr

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B# terme

4 x Srr

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3X3
2 X3 X4XSD

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3X3XSXS
2 X3 X4 X5 X 6X7Do

c? * 6270

veut exprimer le diametre par D, il n'y aura qu'à mettre D
au lieu de

& l'on aura la valeur de la corde AH(*); l'on
pourra encore réduire la formule à cette expression équiva-
lente BF(x)=U

&c.
dans laquelle A signifie le premier terme + u; B, tout le
second terme mun avec son ligne —; C, tout le troisiéme

avec son signe -- ; & ainsi des autres lettres ca-
pitales suivantes.
630. VN arc, qu'on nommerą a, étant donné de tel nombre de degrés

qu'on voudra, e fa corde c étant connue , mais indéterminée
pour marquer la corde connue de tel arc qu'on voudra; le diame.
tre étant D; trouver la corde x d'un autre arc u, qui ait aves

le premier arc a un raport quelconque exprimé par :
1°. Il faut exprimer l'arc donné a par fa corde é, & l'on
aura* a=6+ zxidic +
+ &c. Il faut aussi exprimer l'arc u que l'on cherche par

sa
corde x, & l'on aura u= x + 2x'}DI *}

mo? * &c.
2°. Il faut faire cette proportion donnée, a .x::1.n; ce
qui donnera , en multipliant les extrêmes & les

moyens,
mettant les valeurs de a & de u à leur place, *+
x' + &c. SNC +

2XBDCS

2 X 3
6? * &c.
2 X 3 X 4X5 X 6 X 7 D

3°. Il faut chercher par la niethode du retour des suites,
art. 238, la valeur de la corde x qu'on demande , exprimée
par une suite qui ne contienne que desc, c', &c. & l'on trou-
vera, en réduisant à un même dénominateur les grandeurs qui
sont les parties du coeficient du même terme, la corde x=nc

nxi-NnX9—anx25 -1967 2 X3 X4 XSD*

nxi-nn x9-nn X 25nn x 49 - nn X 81 - 9n 13
2X 3 X 4 XSX 6X7 X 8x9.08.

2 X 3 X 4 XS X 6X7X 8 X 9 X 10 X ID
+&c. C'est la formule que l'on cherchoit, & qu'il est facile
de continuer à l'infini, & qu'on peut encore abreger de cette

y yuu ij

3x3
2 X 3 X 4 XSD+

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3X3 X5 Xs
2 X3 X4 X5 X6X7Do

&

1

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3X3

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2*3***SDE ix

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