L 623. pour pendiculaire au fommet ou hors de la figure jufqu'à chaque น S. dun Nommant donc x les coupées prifes fur la perpendiculaire S. yax fera la formule pour L 4C R S. 42 xyy dx fera la formule pour trouver le centre de *616. USAGE DES FORMULES. 624. Il faut prendre dans les équations des courbes dont on Par exemple pour trouver le centre de pesanteur d'une demi-fphere, l'équation du cercle étant yy =24x xx, • x x d x S. xyy dx S. x 2axx deviendra — xxx dx 532. l'integrale du numerateur est* dénominateur eft axx 2r de pesanteur est ax3 6r 2r la ax3 — **; l'integrale du x', & la distance du centre 8ax-3xx 2ax-1/xx 8 ; 12a-4x &x étant égal au rayon a dans la demi-fphere, cette dif Où l'on explique la maniere de trouver les fuites qui font les integrales des élemens qu'on trouve par les formules de la fection précedente; & en même temps l'usage des methodes des fuites du fecond Problême du feptiéme Livre art. 175, pour la réfolution des Problêmes de la Geometrie, de l'Aftronomie, &c. On explique auffi les logarithmes hyperboliques. AVERTISSEMENT. 625. QUAND on peut trouver par les methodes qu'on donnera dans la troifiéme Partie, les integrales des élemens de la longueur des courbes, de leur aire, de la folidité des corps qui fe forment par leur revolution, & des furfaces courbes de ces corps, lefquels élemens fe trouvent par les formules précedentes; on a la rectification des courbes, leur quadrature, la folidité des corps qui fe forment par leur revolution, & l'aire des furfaces courbes de ces corps, & l'on a auffi la distance de leur centre de pefanteur par le moyen de la formule pour trouver cette distance: mais il y a beaucoup de ces courbes qui ont des élemens dont on n'a trouver les integrales, comme l'élement de la longueur de la circonference ou d'un arc de circonference, les élemens des longueurs de la parabole, de l'ellipfe, de l'hyberbole; les élemens de leurs aires, excepté celui de la parabole, les pu élemens élemens de leurs fecteurs, &c. ce qui leur eft commun avec I. Problêmes où l'on fe fert des élemens des longueurs des courbes TROUVER la longueur d'un arc exprimée par sa tangente. 626. En N nommant la tangente eN(x), ou, pour mieux marquer FIG. XLI, la tangente, la nommant (t), & le rayon OR (r), l'arc eR(u), l'élement de l'arc eft * dur, qui fe réduit à rrdt rro. Pour trouver eR (u), on fuppofera*u redu→ miidu * 590. at + bt3 * 175. + ct' + et + &c. & l'on trouvera par les methodes du Pro blême I rr t' + t t + &c. & fi l'on fuppofe le rayon OR=1, l'on aura R(u) = t — { t 3 + } t2 &c. La mème longueur exprimée par le sinus droit. 627. EN nommant le finus BF(x) de l'arc AF qu'on nommera («), F16.XXX¥. & le rayon AC(1), CB fera Vī -xx ; & les triangles femblables CBF, Fgi donneront CB (Vi— xx). CF (1) :: gi (dx) dx duz . Fg (du) ====*xx 3×3 2 X3 X4 X5' 2x+x+x5x7x2, &c. comme dans l'art. 229, où cette equation fert d'exemple, on y marque par y & dy' ce qui est ici marqué par x & par dx; & par dx ce qui eft ici marqué par du'. I Si l'on vouloit que le rayon fût exprimé par une lettre r, 40r4 II2 3×3×5×5 2X3 X4 X5 X6X7,6 On 115278 X I 2X3 X4 X5 X6X7X8X9r8 3×3 6 rr 2 X3 X4 XSr+ x2 + &c. peut trouver de même l'expreffion de l'arc AF par le finus de complement CB, comme auffi par le finus verfe AB. La mème longueur exprimée par la corde. 628. EN N nommant le diametre AE(1), la corde AH(x), l'arc FIG. XLI. AH(u), les triangles semblables *AHE, LHF donneront *589. EH(√1—xx). AE ( 1 ) :: LF (dx). HF (du) = Idx, qui 629. FIG. XXXV. AE(1) duz se réduit à 1 — + xxdu —0, qui est semblable à l'équa tion précedente; & l'on trouvera par consequent la même Si l'on vouloit que le diametre AE fût exprimé par une + √√√ï x3 core à celle-ci AH (u) X I 3×3 2 X 3 X 4 XSD + X5 x2 + &c. & en =x+2x3D3 Axx + X3 Bxx Exx+&c. dans laquelle A fignifie tout le premier terme x, qui multiplie le fecond; B, tout le fecond terme, Axx, par lequel le troifiéme eft multiplié; C, tout le troifiéme; & ainfi des lettres capitales fuivantes; ce qui fert à abreger les formules, & à faire connoître la maniere facile de les continuer. TROUVER la longueur de l'une des lignes inconnues de l'èlement, comme du finus droit BF (x); ou de la corde AH(x) exprimée par & LXI. la longueur de l'arc AF ou de l'arc AH, qu'on fuppofera connus. FIG. XXXV. IL faut fe fervir de la methode du retour des fuites 234, & XLI. l'on trouvera le finus droit BF (x), ou la corde AH(x) = u — — u 3 + 1 1 veut exprimer le diametre par D, il n'y aura qu'à mettre D lente BF(x)=u. Anu 2X3rr Bun Cun 6X7r Enu 8X9rr &c. dans laquelle A fignifie le premier terme + #; B, tout le fecond terme avec fon figne Bun An u 2 X 3rr terme avec fon figne ; C, tout le troifiéme -; & ainfi des autres lettres ca 630. UN arc, qu'on nommera a, étant donné de tel nombre de degrés L 1o. Il faut exprimer l'arc donné a par sa corde ċ, & l'on 2o. Il faut faire cette proportion donnée, a.w:: 1. n; ce 3°. Il faut chercher par la methode du retour des fuites, * 627. nxi-nnx9— nn × 25 −nn × 49 – nn × 81 -nn 13 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11D1o &c. C'est la formule que l'on cherchoit, & qu'il eft facile de continuer à l'infini, & qu'on peut encore abreger de cette y Yuu ij |