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maniere x =nC to Ac+

BC +
Fc of GC" + &c. en supposant que A re-
presente le premier terme nc; B, le second terme +

& ainsi des lettres capitales suivantes.
631. Cette formule fuffit pour construire les tables des sinus,

car le sinus d'un arc est la moitié de la corde du double de
cet arc; ainsi une seule corde d'un arc étant connue (plus
l'arc dont elle sera la corde sera petit, & moins il faudra de
termes pour avoir une valeur tres approchante des cordes
de tout autre arc); on pourra trouver les valeurs des cordes
de tous les autres arcs qui auront avec l'arc donné cel raport
qu'on voudra; par exemple si l'on veut la corde de l'arc qui
est le tiers du donné, il n'y aura qu'à mettre la corde de l'arc
donné dans la formule à la place de c, & à la place den,
& supposer que x est la corde que l'on cherche, & la formule
aprés les substitutions donnera la valeur. Quand l'exposant
du raport de l'arc dont on cherche la corde, avec l'arc dont
la corde est donnée, est un nombre impair, comme i, s,
1, &c. il est visible que la suite qui est la valeur de x sera finie.
On

peut de même trouver une formule pour construire les
tables des tangentes, par l'art. 626.

REMARQUE.
Ces Exemples ou Problêmes suffisent pour

faire voir claire-
ment aux Lecteurs qu'ils peuvent trouver de la même ma-
niere par le moyen de l'element de la longueur de la para-
bole, de l’ellipse, de l'hyperbole & des autres courbes, en
se servant des methodes du second Problème du septiéme Livre
art. 175, & des methodes du retour des suites art. 234,
vants, la longueur de tel arc qu'on voudra de ces courbes,
& de plus la valeur des lignes inconnues qui entrent dans
l'element de la longueur de chaque courbe, ou qu'on y peut
faire entrer.

II.
Problemes l'on se sert des élemens de l'aire des courbes pour
trouver ces aires, & les lignes inconnues qui entrent

ou qu'on peut faire entrer dans ces élemens,
632. On suppose que Acc est une hyberbole équilatere entre
F1gXLVII. les asymptotes KL, KM qui sont un angle droit en K; que

& les fai

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KGXGA

KI

* 410.

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aadr
6 +.

le demi-axe est KA, le sommet A, la perpendiculaire du
sommer AG== KG; (on remarquera que le produit
connu aa, qui est égal au produit de chaque coupée par son
ordonnée correspondante, comme KF XFf, s'appelle la
puissance de l'hyperbole); les coupées sont sur l'afymptote KL;
les ordonnées CP, ff, il, lL sont perpendiculaires aux cou.
pées, & paralleles à l'afymptote KM. Il faut trouver l'espace
fFli, qu'on nommeral, du quadrilatere hyperboliqueffli.
Soit KF=b; FI=x, li =y; l'on aura* li(y) =
loth); multipliant par dx, on aura ydx

pour

l'éle.
ment du quadrilatere fFli(l); ainsi l=S. Hadi, &d=adi;
d'où l'on déduit bd?+ xd-a=0. On trouvera par les methodes
du 2° Probl. 175,ffli(l) = aa *;*- xx + 365 x - x **
+ &c.

COROLLA I R E.
633. NOMMANT KP(C), PF(x), K1(e), 12(z); si l'on prend

sur l'asymptote KL quatre coupées en proportion K(C).
KF(c + x) :: KI(e). KL (€ +2,) le quadrilatere CPFf sur
PF(*), qui est la difference des deux premiers termes,

sera
égal au quadrilatere illl sur Il(R), qui est la difference
des deux derniers termes : car l'on aura ce +ex = ce +ck;
ce qui donne ex=(2, &=. Or le quadrilatere CPFf
=*aa x 1 x - xx+ 3 xs - &c. & le quadrilatere illl * 632.
=aa x-me 22+ == --&c. Par consequent chaque
erme de la valeur du premier quadrilatere est égal au terme
correspondant du second ; ils sont donc égaux.

Avertissement.
L'invention des logarithmes hyperboliques, par le moyen
desquels on forme bien plus facilement les logarithmes des
tables que par la methode ordinaire des tables des logarith-
mes, dépend du Problême précedent & de son Corollaire ;
on va l'expliquer en peu de mots.

Des logarithmes hyperboliques.

PREMIERE 634. On peut concevoir sur l'áfymptote K L des coupées KR, F.G. XLVII. K2, KP, KG, KF,&c. en progression geometrique à l'infini,

V Vuu iij

SUPPOSITION.

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de nianiere

que

le raport qui regne dans la progression ne differe du raport d'egalité que d'une quantité infiniment petite ; le terine K où commence la progression est zero; le premier terme KR est une grandeur infiniment petite audessus de zero; le second terme K 2 surpasse le premier d'une grandeur infiniment petite, & de même le 3, le 4', &c. à l'infini ; la coupée KG qui fe termine à l'ordonnée AG du sommet A, & qui lui est égale , se prendra pour l'unité ; & comme l'on peut concevoir tous les nombres possibles dans cette progression, tous les nombres moindres que l'unité seront depuis K jusqu'à G ; tous les nombres qui surpassent l'unité pris de suite iront depuis l'origine K jusqu'au delà de G à l'infini.

COROLLAIRE I. 635. On peut imaginer toutes les ordonnées de ces coupées; & * 633 il est clair* que tous les quadrilateres hyperboliques qui ont Ġ 634• pour bases les differences des coupées voisines, seront égaux

entr'eux. Par exemple si PG, GF sont deux differences ou deux restes des termes voisins de la progression geometrique, en ôrant les moindres, de ceux qui sont immédiatement plus grands ; les quadrilateres CPGA, AGFf seront égaux.

COROLLAIRE II. 636. Il fuit de là que les sommes de tous ces petits quadrilateres

prises de suite, font une progression arithmetique, dont la difference est l'un de ces petits quadrilateres égaux. Par exemple nommant i l'un de ces quadrilateres , la somme des deux sera celle des trois sera 3, & ainsi de suite.

SECONDE
637. On exprimera tous les nombres qui seront plus grands que

l'unité par l'unité plus la quantité dont ils surpassent l'unité,
& ceux qui seront moindres que l'unité seront exprimés par
l'unité moins la quantité dont l'unité les furpalle; ainsi
10, &c. seront exprimés par 1 +8,1+9,&c. ģ, it seront
exprimés par i , 1-s, &c. & en general tout nom-
bre qui surpasse l'unité sera exprimé par it n; & ceux qui
sont moindres par 1 -- n.

On nommera aussi reciproques les termes de la progression geometrique, cotre lesquels l'unité est moyenne proportion

2,

SUPPOSITION.

9,

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1

nelle ; ainsi est reciproque à 3, car ķ.1::1.3; & en gene. ral i est reciproque à 1 +n, car itn. 1:1.1+n.

COROLLA IRE I. 638. I _ fuit de là & des Corollaires qui precedent , que si l'on

prend quatre termes de la progression geometrique qui loient en proportion, les quatre lommes des quadrilateres hyperboliques prises depuis le point de l'unité, qui auront ces quatre termes moinsKG pour bases, feront une proportion arithmetique. Par exemple si l'on prend KF.KI::KL.Kn, les quatre sommes des quadrilateres hyperboliques prises depuis AG, sçavoir AGFF, AG/I, AGLI, AGnm, feront une proportion arithmetique; & de même si KR.KQ::KQ. KP, les quadrilateres hyperboliques sur GR, GQ, GP feront une proportion arithmetique; car quatre termes de la progression geometrique, comme KF, KI, KL, Kn, ne sçau. roient faire une proportion geometrique qu'il n'y ait un égal nombre de petits raports égaux à celui qui regne dans la progression entre le premier KF & le second Ki, & entre le troisiéme KL & le quatriéme Kn; ainsi il y a le même nombre de ces petits raports égaux entre F & 1, qu'entre L &m; il y a donc le même nombre de petits quadrilateres hyperboliques égaux sur FI & sur In; par consequent l'excès de AGIi sur AGFf est égal à l'excès de AGnm sur ALlice qui fait une proportion arithmetique. Il est évident que la même démonstration convient à quatre termes tels qu'on voudra de la progression geometrique, qui feront une proportion geometrique.

COROLLA IR E II. 639. Quand deux termes de la progreffion geometrique font

reciproques, comme KR (égal par exemple à ;), & KI(égal à 3), les deux quadrilateres hyperboliques sur GR, GI, qui sont sur les differences GR&G I de l'unité à ces deux termes,

sont égaux : car KR.KG::KG. KI par la supposition; donc par le Corollaire précedent le quadrilatere lur GR est égal au quadrilatere sur GI.

TROISIE'M E SUPPOSITION OU DE'FINITION. 640. Si l'on conçoit écrits de suite sur une même ligne, ou si l'on

veut dans une même colonne, tous les nombres depuis zero

!

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de la progression geometrique dans laquelle regne le raport
qui ne differe du raport d'égalité que d'une grandeur infini-
ment petite , & qui vont en augmentant, de maniere que
l'unité se trouve placée entre tous les nombres moindres
que l'unité & les nombres plus grands, c'est à dire que l'unité
soit précedee de tous les premiers mis de suite , & suivie des
autres aussi mis de suite ; & que sur une ligne au-dessus, ou
dans une colonne à côté, l'on conçoive zero écrit vis à vis
de l'unité; la valeur d'un des petits quadrilateres hyperbo-
liques écrite à côté du nombre immédiatement plus grand
que l'unité avec le signe +, & encore vis à vis du nombre
immédiatement moindre que l'unité avec le signe ; la
somme de deux de ces petits quadrilateres écrite vis à vis du
second nombre plus grand que l'unité avec le signe +, &
encore vis à vis du second nombre moindre qui la précede
avec le signe la somme de trois quadrilateres écrite vis
à vis du troisiéme nombre qui suit l'unité avec +, & encore
vis à vis du troisiéme qui la precede avec — ; & ainsi de suite;
la seconde ligne ou la seconde colonne contiendra une pro-
gression arithmetique, dont chaque terme s'appelle le loga-
rithme hyperbolique du terme de la progreslion geometrique
qui est vis à vis, qu'on appellera son terme correspondant; zero
sera le logarithme de l'unité, & se trouvera entre les loga-
rithmes négatifs qui le precedent, & qui font les logarith-
mes des nombres moindres que l'unité, & entre les positifs
qui sont les logarithmes des nombres plus grands que l'unité.

Corollaire ox l'on explique l'usage des logarithmes.
641. L'usage des logarithmes est pour diminuer la peine du

calcul dans les Mathematiques practiques, conime dans la
Geometrie practique, l'Altronomie, &c. on change par leur
moyen les multiplications & les formations des puissances en
de simples additions, & les divisions & les extractions des
racines en de fimples soustractions ; car le quatrieme terme
b+a d'une proportion arithmetique dont zero est le pre-
mier terme o, a; 6,6+a érant la somme des deux moyens
a,b; & le troisiéme terme a d'une proportion arithmetique
dont zero est le dernier terme 6+ a,b; a, o étant la diffe-
rence du premier terme b+a & du second b, c'est à dire b+a
b=a; quand on a yne multiplication à faire, c'est à dire

1

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