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631.

maniere x = nc+

49 -nn
8X9D'

FC

Inn

2 X 3D1

-nn

81
10 X IID'

Ac3 + 9 -nn ·Bc +

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25 - n2 Ec2.

6X7D'

Gc"+ &c. en fuppofant que A re

presente le premier terme nc; B, le second terme+Ac's & ainfi des lettres capitales fuivantes.

Cette formule fuffit pour construire les tables des finus, car le finus d'un arc eft la moitié de la corde du double de cet arc; ainfi une feule corde d'un arc étant connue (plus l'arc dont elle fera la corde fera petit, & moins il faudra de termes pour avoir une valeur tres approchante des cordes de tout autre arc), on pourra trouver les valeurs des cordes de tous les autres arcs qui auront avec l'arc donné tel raport qu'on voudra; par exemple fi l'on veut la corde de l'arc qui eft le tiers du donné, il n'y aura qu'à mettre la corde de l'arc donné dans la formule à la place de c, & à la place den, & fuppofer que x eft la corde que l'on cherche, & la formule aprés les fubftitutions donnerà fa valeur. Quand l'expofant du raport de l'arc dont on cherche la corde, avec l'arc dontla corde eft donnée, est un nombre impair, comme 1,, 7, &c. il est visible que la fuite qui eft la valeur de x fera finie. On peut de même trouver une formule pour construire les tables des tangentes, par l'art. 626.

REMARQUE.

3

CES Exemples ou Problêmes fuffifent pour faire voir claire-
ment aux Lecteurs qu'ils peuvent trouver de la même ma-
niere par
le moyen de l'élement de la longueur de la para-
bole, de l'ellipfe, de l'hyperbole & des autres courbes, en
fe fervant des methodes du fecond Problème du feptième Livre
art. 175,& des methodes du retour des fuites art. 234, & les fui-
vants, la longueur de tel arc qu'on voudra de ces courbes,
& de plus la valeur des lignes inconnues qui entrent dans
l'element de la longueur de chaque courbe, ou qu'on y peut
faire entrer.

I I.

Problêmes où l'on fe fert des élemens de l'aire des courbes pour
trouver ces aires, & les lignes inconnues qui entrent
ou qu'on peut faire entrer dans ces élemens.

632. ON fuppofe que ACc eft une byberbole équilatere entre FIG,XLVII, les afymptotes KL, KM qui font un angle droit en K ; que

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le demi-axe eft KA, le fommet A, la perpendiculaire du
fommet AG a KG; (on remarquera que le produit
connu aa, qui est égal au produit de chaque coupée par fon
ordonnée correfpondante, comme KF x Ff, s'appelle la
puissance de l'hyperbole); les coupées font fur l'afymptote KZ;
les ordonnées CP, fF, il, IL font perpendiculaires aux cou
pées, & paralleles à l'afymptote KM. Il faut trouver l'espace
fFIi, qu'on nommeral, dù quadrilatere hyperboliqueƒFIi.
Soit KF = b, FI=x, Ii=y; l'on aura* Ii (y) =
(4); multipliant par dx, on aura ydx

+x

=

aadx

=

64x pour

aadr
6+x9

KGXGA
ΚΙ

*
410.

l'éle

44x

ment du quadrilatere ƒFIi (l) ; ainfi l=S. andx, & dl = aadx;
d'où l'on déduit dlxdl-aao. On trouvera par les methodes

dx

du 2° Probl. 175, fFIi(l)

+ &c.

**

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COROLLAIRE.

464

633. NOMMANT KP (c), PF (x), KÍ (e), IZ ( z ) ; fi l'on prend
fur l'afymptote KL quatre coupées en proportion KP (c).
KF (c + x) :: KI (e). KL (e + z,) le quadrilatere CPFf fur
PF(x), qui eft la difference des deux premiers termes, fera
égal au quadrilatere iILI fur IL (z), qui eft la difference
des deux derniers termes: car l'on aura ce + ex➡ce+cz;
ce qui donne ex = cz, &=3. Or le quadrilatere CPFf
&c. & le quadrilatere iILL * 632.

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=aax 1 x 2 / 2x + 3/4/523 - - &c. Par confequent chaque
terme de la valeur du premier quadrilatere est égal au terme
correspondant du fecond; ils font donc égaux.

Avertissement.

L'invention des logarithmes hyperboliques, par le moyen defquels on forme bien plus facilement les logarithmes des tables que par la methode ordinaire des tables des logarithmes, dépend du Problême précedent & de fon Corollaire; on va l'expliquer en peu de mots.

Des logarithmes hyperboliques.

PREMIERE SUPPOSITION.

634. On peut concevoir fur l'afymptote KZ des coupées KR, FIG. XLVII. K2, KP, KG,KF, &c. en progreffion geometrique à l'infini,

V Vu u iij

de maniere que le raport qui regne dans la progreffion ne differe du raport d'égalité que d'une quantité infiniment petite; le terme K où commence la progreffion eft zero; le premier terme KR eft une grandeur infiniment petite audeffus de zero; le fecond terme K2 furpaffe le premier d'une grandeur infiniment petite, & de même le 3o, le 4°, &c. à l'infini, la coupée KG qui fe termine à l'ordonnée AG du fommet A, & qui lui est égale, se prendra pour l'unité; & comme l'on peut concevoir tous les nombres poffibles dans cette progreffion, tous les nombres moindres que l'unité feront depuis K jufqu'à G; tous les nombres qui furpaffent l'unité pris de fuite iront depuis l'origine K jufqu'au delà de G à l'infini.

*

COROLLAIRE I.

635. On peut imaginer toutes les ordonnées de ces coupées; & ON N * 633 il eft clair que tous les quadrilateres hyperboliques qui ont 634. pour bases les differences des coupées voifines, feront égaux entr'eux. Par exemple fi PG, GF font deux differences ou deux reftes des termes voifins de la progreffion geometrique, en ôtant les moindres, de ceux qui font immédiatement plus grands; les quadrilateres CPGA, AGFf feront égaux.

COROLLAIRE I I.

6 36. IL fuit de là que les fommes de tous ces petits quadrilateres prifes de fuite, font une progreffion arithmetique, dont la difference eft l'un de ces petits quadrilateres égaux. Par exemple nommant i l'un de ces quadrilateres, la fomme celle des trois fera 3, & ainfi de fuite.

des deux fera

637. ON

2

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9,

N exprimera tous les nombres qui feront plus grands que l'unité par l'unité plus la quantité dont ils furpaffent l'unité, & ceux qui feront moindres que l'unité feront exprimés par l'unité moins la quantité dont l'unité les furpasse; ainfi 10, &c. feront exprimés par 1+ 8, 1+9, &c., feront exprimés par 1- 8, 1I ,&c. & en general tout nombre qui furpaffe l'unité fera exprimé par in; & ceux qui font moindres par 1 — n.

9

I

-

ΙΟ

On nommera auffi reciproques les termes de la progreffion geometrique, entre lefquels l'unité eft moyenne proportion

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& en gene

ral eft reciproque à 1+n, car. 1 :: 1.1 + 12.

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I I
COROLLAIRE I.

pro

638. IL fuit de là & des Corollaires qui précedent, que fi l'on prend quatre termes de la progreffion geometrique qui foient en proportion, les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prifes depuis le point G de l'unité, qui auront ces quatre termes moinsKG pour bafes, feront une proportion arithmetique. Par exemple fi l'on prend KF.KI:: KL.Kn, les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prifes depuis AG, fçavoir AGFF, AGIi, AGLI, AGnm, feront une proportion arithmetique; & de même fi KR. K2 :: KQ · KP, les quadrilateres hyperboliques fur GR, GQ, GP feront une proportion arithmetique; car quatre termes de la greffion geometrique, comme KF, KI, KL, Kn, ne fçauroient faire une proportion geometrique qu'il n'y ait un égal nombre de petits raports égaux à celui qui regne dans la progreffion entre le premier KF & le fecond KI, & entre le troifiéme KZ & le quatrième Kn; ainfi iky a le même nombre de ces petits raports égaux entre F & I, qu'entre Z & n; il y a donc le même nombre de petits quadrilateres hyperboliques égaux fur F1 & fur Zn; par confequent l'excès de AGIi fur AGFf est égal à l'excès de AGnm fur AGLI; ce qui fait une proportion arithmetique. Il est évident que la même démonstration convient à quatre termes tels qu'on voudra de la progreffion geometrique, qui feront une proportion geometrique.

COROLLAIRE II.

639. QUAND deux termes de la progreffion geometrique font reciproques, comme KR (égal par exemple à ), & KI (égal à 3), les deux quadrilateres hyperboliques fur GR, GI, qui font fur les differences GR & GI de l'unité à ces deux termes, font égaux : car KR. KG: KG. KI par la fuppofition; donc par le Corollaire précedent le quadrilatere für GR eft égal au quadrilatere fur GI.

I

TROISIE ME SUPPOSITION OU DEFINITION.

640. Si l'on conçoit écrits de fuite fur une même ligne, ou fi l'on veut dans une même colonne, tous les nombres depuis zero

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de la progreffion geometrique dans laquelle regne le raport qui ne differe du raport d'égalité que d'une grandeur infiniment petite, & qui vont en augmentant, de maniere que l'unité fe trouve placée entre tous les nombres moindres que l'unité & les nombres plus grands, c'eft à dire que l'unité foit précedée de tous les premiers mis de fuite, & fuivie des autres auffi mis de fuite; & que fur une ligne au-deffus, ou dans une colonne à côté, l'on conçoive zero écrit vis à vis de l'unité, la valeur d'un des petits quadrilateres hyperboliques écrite à côté du nombre immédiatement plus grand que l'unité avec le figne+, & encore vis à vis du nombre immédiatement moindre que l'unité avec le figne ; la fomme de deux de ces petits quadrilateres écrite vis à vis du second nombre plus grand que l'unité avec le figne +, encore vis à vis du fecond nombre moindre qui la précede avec le figne; la fomme de trois quadrilateres écrite vis à vis du troifiéme nombre qui fuit l'unité avec +, & encore vis à vis du troifiéme qui la précede avec-; & ainfi de fuite; la feconde ligne ou la feconde colonne contiendra une progreffion arithmetique, dont chaque terme s'appelle le logarithme hyperbolique du terme de la progreffion geometrique qui eft vis à vis, qu'on appellera fon terme correfpondant; zero fera le logarithme de l'unité, & fe trouvera entre les logarithmes négatifs qui le précedent, & qui font les logarithmes des nombres moindres que l'unité, & entre les pofitifs qui font les logarithmes des nombres plus grands que l'unité.

Corollaire où l'on explique l'ufage des logarithmes. 641. L'USAGE des logarithmes est pour diminuer la peine du calcul dans les Mathematiques practiques, comme dans la Geometrie practique, l'Aftronomie, &c. on change par leur moyen les multiplications & les formations des puiffances en de fimples additions, & les divifions & les extractions des racines en de fimples fouftractions, car le quatrième terme b+a d'une proportion arithmetique dont zero eft le premier terme o, a; b, b + a étant la fomme des deux moyens a,b; & le troifiéme terme a d'une proportion arithmetique dont zero eft le dernier terme ba, b; a, o étant la difference du premier terme b+a & du fecond b, c'eft à dire b+a —6—as quand on a une multiplication à faire, c'est à dire

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qu'il

&

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