642. qu'il faut trouver le quatrième terme d'une proportion geo. e er er Les formations des puiffances n'étant que des multiplications réïterées, & les extractions des racines des divifions réïterées, pour trouver la 2°, la 3° puiffance, &c. d'un nombre; il n'y aura qu'à prendre le double, le triple du logarithme de ce nombre, &c. & le chercher dans la colonne des logarithmes, le nombré qui fe trouvera vis à vis fera la 2o, la 3° puiffance, &c. du nombre propofé. De même pour trouver la racine 2o, 3o, &c. d'un nombre, il n'y aura qu'à prendre la moitié, le tiers, &c. du logarithme de ce nombre, & le chercher dans la colonne des logarithmes, & le nombre qui fera vis à vis fera la racine 2,3, &c. que l'on cherche. Ce Corollaire eft une fuite de la notion des logarithmes, & de ce que quatre termes de la progreffion geometrique correfpondante à la progression arithmetique des logarithmes, failant une proportion geometrique, leur quatre logarithmes font une proportion arithmetique. Les formules pour trouver les logarithmes hyperboliques. 643. POUR trouver le logarithme hyperbolique d'un nombre FIG, XLVII, quelconque plus grand que l'unité, qu'on marquera par in, il faut imaginer que ce nombre eft une coupée, par exemple KF fur l'afymptote KL, & l'ordonnée correfpondante eft Ff, que fa premiere partie 1 eft KG, & fa feconde partien GF; & la queftion fe réduira à trouver le quadrilatere AG Ff, qu'on nommera 1, c'eft à dire logarithme. L'équation à l'hyperbole équilatere eft KGXGA —ƒF=1. = KF La differentielle de KFI + n eft dn ; ainfi l'élement du Idn quadrilatere left dl, qui fe réduit à di+ndl dn Or on trouvera comme dans l'article 227, où eft ce même Quand le nombre propofé fera moindre que l'unité, on le nommera in ; & l'on aura l'équation dnd-1 = -I=0; & l'on trouvera par la même methode le logarithme lin + 1⁄2 n2 + ÷ n2 + — n' + n' + &c. C'est la formule pour trouver le logarithme d'un nombre moindre que l'unité, il faudra feulement, quand on l'aura trouvé, mettre le figne audevant de la fomme qui contiendra tel nombre que l'on voudra des termes de la fuite que fera trouver la formule. USAGE DES FORMULES. L 644. Il n'y a qu'à fubftituer le nombre dont on cherchera le logarithme à la place de 1+ n ou de 1 -n dans les formu. les, ou fimplement la difference de ce nombre d'avec l'unité à la place de n; & la fomme qu'on trouvera fera le logarithme. Mais comme il faut que les termes de la formule aillent en diminuant, & que les logarithmes d'un nombre moindre que l'unité, & celui de fon reciproque plus grand que l'unité, sont égaux; il vaudra mieux fe fervir de la feconde formule, & mettre le nombre representé par à la place de 1 -n dans la feconde formule; c'est à dire qu'il y faut met. I La maniere de réduire les logarithmes hyperboliques les 645. DANS les logarithmes des tables, le logarithme du nom. bre 10 eft l'unité précedée d'un grand nombre de zeros; logarithmes de 100, de 1000, de 10000, &c. font 2, 3, 4, &c. précedés du même nombre de zeros. Or en concevant les logarithmes ordinaires des tables écrits dans une 3° colonne à coté des logarithmes hyperboliques correfpondants, il est clair que le logarithme hyperbolique de 10, ( qu'on trouvera 2, 30258509799404568401799145468, si l'on veut le calculer jufqu'à trente rangs), eft au logarithme hyperboli- L = + Quand on a le logarithme 1 d'un nombre, trouver ce nombre. 646. Il faut fe fervir de la methode du retour des fuites 234 & 235, où l'on a mis ce même Problême pour exemple; c'est à dire, il faut par le retour des fuites, ayant /= n — — nn + }; n3 — 1n1, &c. ou l➡n+nn+n3 → &c. trouver la valeur de n exprimée par / & par les puiffances de l, & y ajouter l'unité pour avoir la valeur du nombre 1+n, où retrancher la fuite qu'on trouvera de l'unité pour avoir le nombre 1 - n; & l'on trouvera 1+2=1+ {} + { // + = {}{/}; /3 + 2x = x + 1++ 1-n1· / + + &c. & 1 − n = 1 − ÷ + / ll &c. On trouveroit les mêmes formules I dn dn te 1_1 + 2×3 I 1 14. par les équations d l = ;, & dl =d, en réduisant la 1" à 1+ndo, In =o, & y appliquant enfuite la methode du fecond Probl. 175. Avertissement. On ne s'arrêtera pas ici à donner plufieurs moyens de faciliter & d'abreger le calcul de ces logarithmes, étant obligé d'être court, pour dire cependant beaucoup de chofes en peu de mots, on s'attache dans ces ufages de l'Analyse à faire concevoir clairement aux Lecteurs les methodes generales qui leur feront refoudre une infinité de Problêmes. REMARQUE. 647. LEs lignes droites peuvent avoir leurs logarithmes hyper- F16,XLVH. boliques comme les nombres; pour le concevoir clairement il faut mener la droite KST, qui faffe avec l'afymptote KG tel angle qu'on voudra; prendre fur cette ligne la partie déterminée KS telle qu'on voudra, & la nommer a ; & nommant l'indéterminée ST(x), a+ x representera telle droite qu'on voudra. Il faut mener SG au point G où fe termine l'unité KG, & par chacune des ST (x), mener TF parallele X X xx ij a à SG; & le quadrilatere AGFƒ fera le logarithme hyperbo dx a = adx adx Trouver l'aire d'un fecteur elliptique aKG exprimé par la tangente aT au fommet a du grand axe Ka. 6 48. LE secteur GKa, en fuppofant les deux tangentes a T, GT, FIG. XLVI. eft partagé par la moitié par KT; car en concevant les deux ordonnées GM, aM au demi-diametre Kx, l'on aura pour 386. l'une & l'autre ordonnée * KT. K× :: Kn, KM; ainfi le point M leur eft commun, & elles font une même droite, & Kx partage cette droite aG par la moitié en M, d'où l'on déduit aifément que Kx partage le fecteur entier a KG en deux moitiés. Pour trouver la premiere moitié a K×, on fuppofera la tangente AT=t, la moitié Ka du premier axe égale à 7, la moitié KD du second axe égale à 1. Ôn tirera Kt infiniment proche de KT, & les petits arcs ta, xo du centre K avec les rayons Kt, K« ; & l'on aura les triangles rectangles femblables KaT, tλT, qui donneront KT (√Ka+aT Vir tt). Ka (r) :: Tt (dt), tλ = rdt 2 2 = En nommant xb(y), l'on aura à caufe des triangles femblables KaT, Kbx ; aТ' (tt). xb2 (yy) :: KĀ (11) · Kb2 * 380. On aura auffi par la proprieté de l'ellipse * KD (1). xb2 (yy) :: 'Ka' (rr). Ka' — Kb2 = rr ttrr tirr+rr tt ; ainfi Kx=kb2+xb2 = Les petits fecteurs semblables Kλ, & K♦ donneront Ke (Vrr + tt). ta (d) :: Kx (V! Par confequent le petit fecteur xKx, qui eft l'element d rdt rdt ainfi nommant s le fecteur aKx, on aura ds = + qui fe réduit à #tds ds dt On trouvera par cette équation, en employant la methode du Problème, article 175, le fecteur a Kx (s) == rx - t + &c. & le secteur a KG, double de It aKx,=rx it. - On trouvera par la même methode precifément la même Un felteur elliptique AFC dont le fommet F eft à un des foyers F 649. ON fuppofe la moitié KA du premier axe connue *380. FIG. 93 Fic. XLVI. ·2 Par la proprieté de l'ellipfe * KD' (rr) · KA' (qq) :: KD du demi-segment BCA. Multipliant auffi FB par BC, ferentielle fera donc, étant réduite au même dénomina- & le demi-segment BCA faifant enfemble le fecteur CFA({y}, |