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642.

qu'il faut trouver le quatrième terme d'une proportion geo.
metrique dont l'unité eft le premier terme, & les deux nom-
bres à multiplier le second & le troifiéme terme; il n'y a qu'à
prendre la fomme des deux logarithmes du fecond & du
troifiéme terme, & chercher dans la table le logarithme qui
eft égal à cette fomme; le nombre qui eft vis à vis fera le pro-
duit que l'on cherche: Et de même quand on aura une di-
vision à faire, c'est à dire qu'il faudra trouver le 3o terme d'une
proportion geometrique dont le nombre à divifer est le 1"
terme, le diviseur le 2 terme; le quotient que l'on cherche
le 3o terme, & zero le 4° terme, il n'y aura qu'à ôter le loga-
rithme du 2° terme du logarithme du 1" terme, & le loga-
rithme qui fera égal au reste, sera vis à vis du 3o terme, qui
eft le quotient que l'on cherche.

e

er

er

Les formations des puiffances n'étant que des multiplications réïterées, & les extractions des racines des divifions réïterées, pour trouver la 2°, la 3° puiffance, &c. d'un nombre; il n'y aura qu'à prendre le double, le triple du logarithme de ce nombre, &c. & le chercher dans la colonne des logarithmes, le nombré qui fe trouvera vis à vis fera la 2o, la 3° puiffance, &c. du nombre propofé. De même pour trouver la racine 2o, 3o, &c. d'un nombre, il n'y aura qu'à prendre la moitié, le tiers, &c. du logarithme de ce nombre, & le chercher dans la colonne des logarithmes, & le nombre qui fera vis à vis fera la racine 2,3, &c. que l'on cherche. Ce Corollaire eft une fuite de la notion des logarithmes, & de ce que quatre termes de la progreffion geometrique correfpondante à la progression arithmetique des logarithmes, failant une proportion geometrique, leur quatre logarithmes font une proportion arithmetique.

Les formules pour trouver les logarithmes hyperboliques. 643. POUR trouver le logarithme hyperbolique d'un nombre FIG, XLVII, quelconque plus grand que l'unité, qu'on marquera par in, il faut imaginer que ce nombre eft une coupée, par exemple KF fur l'afymptote KL, & l'ordonnée correfpondante eft Ff, que fa premiere partie 1 eft KG, & fa feconde partien GF; & la queftion fe réduira à trouver le quadrilatere AG Ff, qu'on nommera 1, c'eft à dire logarithme. L'équation à l'hyperbole équilatere eft KGXGA —ƒF=1.

=

KF

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La differentielle de KFI + n eft dn ; ainfi l'élement du

Idn

quadrilatere left dl, qui fe réduit à di+ndl

dn

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Or on trouvera comme dans l'article 227, où eft ce même
exemple, excepté que (1) y eft nommée x; dl, dx; n, y ; & dn,
dy; le logarithme / In — inn + n
- — n n + { n3 — — n' + } n' — &c.
C'est la formule pour trouver le logarithme d'un nombre
qui furpaffe l'unité.

Quand le nombre propofé fera moindre que l'unité, on le nommera in ; & l'on aura l'équation dnd-1 = -I=0; & l'on trouvera par la même methode le logarithme lin + 1⁄2 n2 + ÷ n2 + — n' + n' + &c. C'est la formule pour trouver le logarithme d'un nombre moindre que l'unité, il faudra feulement, quand on l'aura trouvé, mettre le figne audevant de la fomme qui contiendra tel nombre que l'on voudra des termes de la fuite que fera trouver la formule. USAGE DES FORMULES.

L

644. Il n'y a qu'à fubftituer le nombre dont on cherchera le logarithme à la place de 1+ n ou de 1 -n dans les formu. les, ou fimplement la difference de ce nombre d'avec l'unité à la place de n; & la fomme qu'on trouvera fera le logarithme. Mais comme il faut que les termes de la formule aillent en diminuant, & que les logarithmes d'un nombre moindre que l'unité, & celui de fon reciproque plus grand que l'unité, sont égaux; il vaudra mieux fe fervir de la feconde formule, & mettre le nombre representé par à la place de 1 -n dans la feconde formule; c'est à dire qu'il y faut met.

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I

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La maniere de réduire les logarithmes hyperboliques
aux logarithmes ordinaires des tables.

les

645. DANS les logarithmes des tables, le logarithme du nom. bre 10 eft l'unité précedée d'un grand nombre de zeros; logarithmes de 100, de 1000, de 10000, &c. font 2, 3, 4, &c. précedés du même nombre de zeros. Or en concevant les logarithmes ordinaires des tables écrits dans une 3° colonne à coté des logarithmes hyperboliques correfpondants, il est clair que le logarithme hyperbolique de 10, ( qu'on trouvera 2, 30258509799404568401799145468, si l'on veut le

calculer jufqu'à trente rangs), eft au logarithme hyperboli-
que d'un nombre quelconque, par exemple de 30, comme
le logarithme des tables qui convient à 10, qui eft l'unité
précédée de tel nombre de zeros qu'on voudra, eft au loga-
rithme du même nombre 30 qu'il faut mettre dans les tables.
Ainfi on réduira par cette proportion les logarithmes hyper-
boliques à ceux des tables.

L

= +

Quand on a le logarithme 1 d'un nombre, trouver ce nombre. 646. Il faut fe fervir de la methode du retour des fuites 234 & 235, où l'on a mis ce même Problême pour exemple; c'est à dire, il faut par le retour des fuites, ayant /= n — — nn + }; n3 — 1n1, &c. ou l➡n+nn+n3 → &c. trouver la valeur de n exprimée par / & par les puiffances de l, & y ajouter l'unité pour avoir la valeur du nombre 1+n, où retrancher la fuite qu'on trouvera de l'unité pour avoir le nombre 1 - n; & l'on trouvera 1+2=1+ {} + { // + = {}{/}; /3 + 2x = x + 1++ 1-n1· / + + &c. & 1 − n = 1 − ÷ + / ll &c. On trouveroit les mêmes formules

I

dn

dn

te

1_1 +

2×3

I
2X3

1
2×3×4

14.

par les équations

d l = ;, & dl =d, en réduisant la 1" à 1+ndo,

In

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=o, & y appliquant enfuite la methode du fecond Probl. 175.

Avertissement.

On ne s'arrêtera pas ici à donner plufieurs moyens de faciliter & d'abreger le calcul de ces logarithmes, étant obligé d'être court, pour dire cependant beaucoup de chofes en peu de mots, on s'attache dans ces ufages de l'Analyse à faire concevoir clairement aux Lecteurs les methodes generales qui leur feront refoudre une infinité de Problêmes.

REMARQUE.

647. LEs lignes droites peuvent avoir leurs logarithmes hyper- F16,XLVH. boliques comme les nombres; pour le concevoir clairement il faut mener la droite KST, qui faffe avec l'afymptote KG tel angle qu'on voudra; prendre fur cette ligne la partie déterminée KS telle qu'on voudra, & la nommer a ; & nommant l'indéterminée ST(x), a+ x representera telle droite qu'on voudra. Il faut mener SG au point G où fe termine l'unité KG, & par chacune des ST (x), mener TF parallele X X xx ij

a

à SG; & le quadrilatere AGFƒ fera le logarithme hyperbo
lique de la ligne KT. Si l'on prenoit Kt (a — x), fon loga.
rithme feroit AGPC. Or KS (a). KG ( 1) :: ST ( x ). GF=2;
ce qui donne KF =1+*=4+*, & Ff = — x ›
& Ff, & la diffe-
rentielle du logarithme AGFf(dl).
* qui fe réduit à
adl+xdl a=0; d'où il eft facile par le Problème art. 175,
de trouver le logarithme / de la ligne a+x. Ce qu'on peut
aifément appliquer à la ligne Kt(a - x) ; mais la differen-
tielle du logarithme négatif AGPC fera négative & égale

dx

a = adx

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adx

Trouver l'aire d'un fecteur elliptique aKG exprimé par la tangente aT au fommet a du grand axe Ka.

6 48. LE secteur GKa, en fuppofant les deux tangentes a T, GT, FIG. XLVI. eft partagé par la moitié par KT; car en concevant les deux ordonnées GM, aM au demi-diametre Kx, l'on aura pour 386. l'une & l'autre ordonnée * KT. K× :: Kn, KM; ainfi le point M leur eft commun, & elles font une même droite, & Kx partage cette droite aG par la moitié en M, d'où l'on déduit aifément que Kx partage le fecteur entier a KG en deux moitiés. Pour trouver la premiere moitié a K×, on fuppofera la tangente AT=t, la moitié Ka du premier axe égale à 7, la moitié KD du second axe égale à 1. Ôn tirera Kt infiniment proche de KT, & les petits arcs ta, xo du centre K avec les rayons Kt, K« ; & l'on aura les triangles rectangles femblables KaT, tλT, qui donneront KT (√Ka+aT Vir tt). Ka (r) :: Tt (dt), tλ = rdt

2

2

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=

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En nommant xb(y), l'on aura à caufe des triangles femblables KaT, Kbx ; aТ' (tt). xb2 (yy) :: KĀ (11) · Kb2 * 380. On aura auffi par la proprieté de l'ellipse * KD (1). xb2 (yy)

:: 'Ka' (rr). Ka' — Kb2 = rr

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ttrr tirr+rr

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tt

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; ainfi Kx=kb2+xb2 =

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Les petits fecteurs semblables Kλ, & K♦ donneront Ke

(Vrr + tt). ta (d) :: Kx (V!
:: Kx (√) xQ=rdt x V
1).

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Par confequent le petit fecteur xKx, qui eft l'element d
Lecteur aKx, eft Kx × = x0 = rdt × √;

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rdt
#t+ I ;

rdt

ainfi nommant s le fecteur aKx, on aura ds = + qui fe réduit à

#tds ds

dt

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On trouvera par cette équation, en employant la methode du Problème, article 175, le fecteur a Kx (s) == rx - t + &c. & le secteur a KG, double de

It

aKx,=rx it.

-

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On trouvera par la même methode precifément la même
fuite pour un fecteur femblable du cercle, & la même fuite
auffi, en rendant tous les termes pofitifs, pour un fecteur
femblable hyperbolique, dont le fommet eft au centre de
l'hyperbole, en fuppofant l'hyperbole équilatere, ou, fi elle
ne l'eft pas, en fuppofant fon fecond axe = 1.

Un felteur elliptique AFC dont le fommet F eft à un des foyers F
de l'ellipfe, ou à un autre point du premier axe AKa, étant regardé
comme connu, trouver l'ordonnée CB du point C qui eft l'extremité
de Parc AC de l'ellipfe qui fait la bafe du fecteur.

649. ON fuppofe la moitié KA du premier axe connue

*380.

FIG.

93 Fic. XLVI.
la moitié KD du fecond axe, auffi connue,= r; la partie FA
du grand axe connue, ; l'ordonnée inconnue CB= x;
le fecteur AFC regardé comme connu, mais pourtant in-
déterminé, afin qu'il puiffe reprefenter tel fecteur qu'on vou-
dra, égal à žy

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·2

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Par la proprieté de l'ellipfe * KD' (rr) · KA' (qq) :: KD
— BC (17—xx).KB 1 x rr-xx ; ainfi KB-Vrr-xx;
KA-KB=BA=q-2√rr-xx, & FA— BA=FB
=t-q+
q+2 √rr-xx. Or la difference Bb de BA = q
; la multipliant par l'ordonnée

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du demi-segment BCA. Multipliant auffi FB par BC,

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ferentielle fera donc, étant réduite au même dénomina-
tr— qr × Vrv — xx + qrr-2qxxx dx. Mais le triangle FBC

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& le demi-segment BCA faifant enfemble le fecteur CFA({y},
la fomme de leurs differentielles doit être égale à la diffe-

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