rentielle ou à l'élement du fecteur CFA qui eft dy. On aura donc cette équation gr+t―q × Vrr—xx dx dy X dx=dy, qui fe réduit à d* x qr + t − q × √ rr — xx-√πT-xx=0. C'est 7 6rrit 1207417 28093 +504991 - 22592 + y2 + &c. Ce qu'il falloit trouver. 504005110 = Cg x = Fc ;. On auroit pû trouver l'élement du même secteur en cherchant immédiatement le petit fecteur CFc mais le calcul étant bien plus embaraffé, on s'est déterminé à la voye qu'on a suivie, où il est bien plus court & plus facile. AVERTISSEMENT. 650, LE Problême précedent donne la réfolution directe d'un Problême d'Aftronomie dont avoit befoin Kepler, & qu'il n'a pû trouver que par des voyes indirectes. Après avoir fait voir dans le chapitre 59 de fon Aftronomie nouvelle touchant les mouvemens de Mars, que cette planette décrit une ellipfe A Da FIG. XLVI. dont le Soleil occupe l'un des foyers F, que le temps entier de fon mouvement moyen autour du Soleil, par exemple depuis le point A où elle eft plus éloignée du Soleil, jusqu'à fon retour à ce point, doit être mefuré par l'aire entiere de l'ellipfe qu'on peut concevoir exprimée par le nombre 360, & chaque partie du même temps par l'aire d'un fecteur, comme CFA de la même ellipfe dont le fommet eft au foyer F, & qui fera une des parties de 360; nommant chacun de ces fecteurs CFA l'anomalie moyenne, il falloit trouver l'angle CFA de ce fécteur au foyer F, ce qu'il nomme l'anomalie veritable. Le Problême précedent fait trouver cet angle CFA pour tel fecteur CFA qu'on voudra affigner; car nommant le secteur y, l'on trouve par le Problême précedent la valeur de l'ordonnée BC (x) qui est un côté du triangle rectangle FBC, & BC(x) étant connue on trouve le fecond côtê F B = t — q+3 √rr-xx; & l'on aura par confequent l'angle CFA qu'il falloit trouver. 651. En prolongeant BC jufqu'au point H de la circonfe* 384. rence Ala qui a pour diametre le grand axe Aa, l'on aura BC. BH:: KD. KIKA; ce qui fera auffi trouver BH & l'angle HFA, que cherchoit auffi Kepler. REMARQUE. Les exemples qu'on a mis pour trouver l'aire des courbes par l'élement de cette aire, & pour trouver les lignes inconnues qui entrent ou qu'on peut faire entrer dans cet élement, fuffifent pour faire voir clairement qu'on trouvera de la même maniere les aires des autres courbes par leurs élemens, & qu'on trouvera auffi les lignes inconnues qui entrent dans ces élemens; ce qu'on doit auffi entendre des élemens des folides & des furfaces courbes. 1 粥粥粥粥粥粥粥粥粥粥 ***** 榮 维 TROISIÈME PARTIE. Où l'on fait voir l'usage de l'Analyse pour découvrir PREMIERE SECTIO N. Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyfe pour trouver les regles du calcul integral. PREMIERE DEFINITION. 652. QUAND on a une differentielle quelconque, la maniere de trouver la grandeur entiere ou l'integrale dont elle est la differentielle, eft ce qu'on appelle le calcul integral. PREMIERE PROPOSITION FONDAMENTALE. 653. QUAND * UAND une grandeur differentielle eft incomplexe, qu'elle ne contient qu'une feule changeante x multipliée ou divifée par une conftante, &, fi c'eft une fraction, que le dénominateur ne contienne que des conftantes, on en trouve toujours l'integrale, 1°, en augmentant dans la differentielle donnée l'expofant de la changeante d'une unité; 2°, en divisant enfuite la differentielle par l'expofant de la changeante ainfi augmenté de l'unité & multiplié par la differentielle dx de * 532. la changeante x lineaire; car le quotient fera l'integrale. Ainfi axdx a pour integrale x: xdx a pour integrale x3: 4xx a pour integrale pour integrale xx: ax'dx a pour integrale bb c'eft à dire, la methode donne une integrale infinie, ou plutôt elle ne fait rien découvrir, il faut avoir recours à d'autres manieres de trouver l'integrale: en general nax" 'dx a pour integrale ax"; & ax"dx à pour integrale **1. Cette propofition eft une fuite évidente du calcul differen532. tiel. Il faut faire ici la même remarque qu'on a faite dans 36 l'art. 533. Jaa-bb a a 24 60 xxdxa ∞ ; Corollaires 654. QUAND 655. Corollaires de la premiere propofition. I. UAND on a une grandeur differentielle complexe qui 3 S'il y avoit des fractions, & qu'elles n'euffent au dénomi nateur que des conftantes, on en trouveroit de même les integrales; ainfi xdxydy a pour integrale x2 -za2 = 2b2yy• cc I I. Quand une differentielle dx eft multipliée par la puiffance d'une grandeur complexe entiere, ou qui n'a que des conftantes au dénominateur, & que l'expofant de la puiffance est un nombre entier pofitif, & qu'il n'y a qu'une même changeante x, on en peut toujours trouver l'integrale par la premiere propofition, en elevant la grandeur complexe à cette puiffance. Si l'on a dx x ax, il faut la réduire à x dx, & l'on trouvera enfuite que l'integrale + 1x3. 2ab x bbxx est a2x+ab xx 366 X3 III. 2 656. Mais quand une differentielle dx eft multipliée par une grandeur complexe élevée à une puiffance dont l'expofant eft un nombre entier négatif au- deffus de l'unité, on en trouvera l'integrale fans l'élever à cette puiffance, & fi elle y étoit élevée, il faudroit la réduire à fa racine, & lui donner l'expofant négatif de la puiffance: Par exemple dx x a2-bx a pour integrale-xa-bx. Mais fi l'on a dx x , il faut la réduire à dx x a-x 657. On a dit que l'expofant entier négatif de la grandeur autre methode, qu'on donnera dans la fuite, pour trouver l'integrale dans ce cas; l'on doit auffi remarquer que la grandeur complexe élevée à une puiffance dont l'expofant est negatif, ne doit avoir que deux termes dont l'un n'ait que des conftantes, & l'autre la changeante x lineaire; car dans les autres cas on n'en peut pas trouver l'integrale par la feule premiere propofition; il faut d'autres methodes qu'on donnera dans la fuite. 658. QUAND COROLLAIRE IV. U AND une differentielle eft une grandeur incomplexe qui n'a qu'une changeante élevée à une puiffance quelconque dont l'expofant eft un nombre rompu pofitif ou négatif, on en trouve toujours l'integrale comme dans la premiere proposition: Par exemple dx√ax = ax1dx a 2 I a pour grale a2x2+ : dxdx x ax a pour integrale za ~ I inte za ̃1⁄4× 2 X 2√; & en general ax"dx a pour integrale na n SECONDE DEFINITION. 659. LORSQU'UNE grandeur complexe ou incomplexe eft élevée à une puissance dont l'expofant est une fraction positive ou négative, ou bien une grandeur entiere négative & même pofitive, on dira que cette grandeur eft fous le figne ; & quand elle eft en même temps multipliée par une grandeur entiere, on dira que cette grandeur qui est une partie du produit, eft hors du figne. Ainfi dans la'dx + 26xdx × a2x+bx2 1‚ a2x + bx' eft fous le figne, & adx + 2bxdx eft hors du figne. COROLLAIRE V. 660. LORSQU'ON a une grandeur complexe fous le figne multipliée par une differentielle hors du figne, qui eft la differentielle de cette grandeur complexe confiderée hors du figne; on en peut toujours trouver l'integrale par la premiere propofition; comme auffi quand la differentielle hors du figne, telle qu'on l'a dite, eft multipliée par une grandeur conftante |