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quelconque; ainfi l'integrale de × a dx + 2bxdx × a2x + bx2

2

2

est a2x + bx2TM : l'integrale de 2xdx × aa + xx est?×

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4. POUR connoître facilement les cas qui fe rapportent au cinquième Corollaire, on peut y employer l'Analyse, en fuppofant la grandeur complexe, qui eft fous le figne, égale à une feule lettre changeante z, & aprés avoir trouvé la valeur de dz, il faudra changer toute l'expreffion de la grandeur differentielle complexe qui eft donnée en & dz, & dans les cas qui fe rapportent au cinquième Corollaire, on trouvera une expreffion plus fimple de la differentielle dont l'integrale fe pourra aifément trouver par la premiere propofition; & aprés l'avoir trouvée, il faudra y fubftituer les grandeurs fuppofées égales à, & l'on aura l'integrale qu'il falloit trouver: Cette methode que fournitl' Analyfe par fes expreffions indéterminées qui fert à changer les differentielles données en d'autres équivalentes plus fimples & plus propres à y pouvoir appliquer la regle de la premiere propofition fondamentale, eft de grand ufage pour découvrir les integrales les plus compofées, comme on le verra dans la fuite.

662.

I

Par exemple pour trouver l'integrale de 1 × a2dx➡2bxdx ×
a2 x + bx2 2
on supposera z=a2x+bx2 2; d'où l'on déduira
zz = a2x + bx2, & 2zdz = a2d x + 2bxdx. On changera
l'expreffion donnée en z & dz, en substituant dans la pro-
pofée 2zdz à la place de a’dx + 2bxdx, & z à la place de
a2x + bx2 2; on la changera, dis-je, en cette équivalente zdz
qui eft tres fimple, on trouvera par la i propofition que
fon integrale eft z3. On substituera dans cette exprellion
la valeur de z3, & l'on aura = { × a2x + bx2 2
‡¦¿
tegrale de la differentielle propofée.

I I.

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3

pour l'in

Il faut quelquefois préparer les expreffions differentielles pour les réduire au cas du cinquième Corollaire. Cette préY Y y y ij

1

paration fe fait ordinairement en multipliant la partie qui eft hors du figne par la changeante x ou par une de fes puiffarces, ou par une grandeur qui contient des constantes & la changeante x, & divifant en même temps la partie qui est fous le figne par cette même grandeur; ou bien au contraire en divifant la premiere partie par cette grandeur, & multipliant en même temps la feconde par la même grandeur, par cette préparation la differentielle conferve toujours la même valeur. Cette préparation s'exprime ordinairement en disant qu'il faut mettre fous le figne une grandeur qui est hors du figne, & ôter de deffous le figne une grandeur qui y eft, pour la mettre hors du figne, fans changer la valeur de la grandeur propofée.

m

Pour faire mieux concevoir la maniere de faire cette préparation, on la fera remarquer fur un exemple fimple & general, comme xx ax". Suppofé qu'on veuille multiplier la partie x par x2, il faut écrire x+, & en même temps diviser la feconde partie par x pour conferver la même valeur; mais comme la feconde partie eft fous le figne dont l'expofant eft p, il ne fuffit pas pour en faire la divifion par x1 d'écrire ax" n-q -P mais il faut diviser l'expofant q par l'ex

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pofant p, & l'on aura x31; & pour divifer enfuite la feconde

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P

-P


11-
P >

sée xTM × axa3 sera changée en xTM+q

& la grandeur propo

xax

4 11

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-P

P qui lui est équivalente. La raison de la feconde operation est que la grandeur qui divise la feconde partie doit être égale à celle

qui a multiplié la premiere partie, & xP = x2

Si l'on vouloit diviser la feconde partie par x", c'est à dire ôter x" de deffous le figne, & multiplier en même temps la premiere par x", il faudroit écrire +11P x ax

ןןן

-P

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P

x

mup.

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par

a2 = x x ax" La raison en eft que dans la feconde tie x" est élevée à la puissance p; ainsi en divifant la feconde partie par x", on la divife par "P; il faut donc pour conferver la même valeur multiplier la premiere par x".

x

Quand l'expofant p du figne est une fraction, comme

dans ×a × ax3 7, & qu'on veut multiplier la premiere partie

par x3, & diviser la feconde par x3, l'on trouve x++3 x ax3

I

32

-, alors exprime une multiplication au lieu

= x2 xax 2 2

d'une division, puisque 1 = 2 × 3 = 6.

ax

1/2

Quana i expofain p du ligin A mégatif, comme dans a×

& qu'on veut multiplier la premiere partie par x

& divifer la feconde par x2, on trouve x**1 × ax3 xax3

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devient +7 +7=+} =+4; ce qui marque que dans ce cas la premiere & la feconde partie font multipliées par la même grandeur, parceque dans ce cas la grandeur propofée est une fraction. Ces chofes fuppofées :

6

Pour réduire, par exemple, la differentielle dx x a° x3. + 3a*b** +3a2bbx' + b3x au cas du cinquiéme Corollaire, je remarque que cette expreffion eft égale à celle-ci dx x ; je multiplie la grandeur qui eft hors du figne par a'x + bx2', & je divise en même temps celle qui eft fous le figne par la même grandeur, & je trouve a2xdx + bx3dx × a2x+ bx

a2x + bx2 ́ × a2x + bx2 a2x+bx22

Corollaire.

x

14

qui fe rapporte au cinquiéme

De même pour réduire la differentielle dx x aax2 + xa il faut multiplier dx par x, & divifer par x la grandeur qui

I

Zil

eft fous le figne, & elle fe changera en xdx × a a + x2 1qui 27 fe raporte au 5 Corollaire. Au contraire pour réduire au s 5° 5 Corollaire la differentielle 3ax'dx + 4x+dx xaxx' faut diviser la partie qui eft hors du figne par x, & multiplier celle qui eft fous le figne par x, & elle fera changée en son

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I

équivalente 3ax dx + 4x3dx x ax3 + xˆ

dont on trouvera

2

Y Y y y iij

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par le cinquiéme Corollaire l'integrale 3 × ax3 + x4 =
On réduira de même au cinquième Corollaire la differen-
tielle adx + xdx × 3a + 2x en multipliant la premierė
partie & divifant la feconde par x, & l'on aura l'équivalente
axdx 2x3
→→ x2dx × 2^xx + 2x32. dont on trouvera l'integrala
par le cinquième Corollaire ou par la premiere remarque,

༢.,

I

en fuppofant 3axx + 2x3 =2, d'où l'on déduira z1= 3axx + 2x3 3 ̧ & z−2 =3axx+2x3 ; & — 273dz = 6axdx +6x2dx, & ― z ̃3dz = axdx + x'dx; par confequent — — z ̄2dz— axdx + x3dx × 3axx+2x3 ̃1⁄2. Or l'integrale de-dz est, par la premiere propofition ou par le troifiéme Corollaire, où fubftituant la valeur de z', on

I

trouvera × 34xx + 2x3 2 pour l'integrale que l'on cher

choit.

On réduira au contraire la differentielle axˆdx × a2x2+x+ au cinquième Corollaire, en divifant la premiere partie & multipliant la feconde par x, & l'on trouvera l'équivalente axdx × aa + xx 7, dont l'integrale est a ×aa → xx

III.

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Où l'on explique la marque qui fait diftinguer les cas où l'integrale qu'on trouve eft completes & la regle pour trouver quand elle ne l'eft pas, la grandeur conftante qu'il faut lui ajouter ou retrancher pour avoir l'integrale complete.

UR

663. Pour faire voir aux Lecteurs la raifon de la regle par laquelle on connoît fi une integrale eft complete, & là grandeur conftante qu'il lui faut ajouter ou en retrancher quand elle ne l'eft pas, afin de la rendre complete, en même temps qu'on expliquera cette regle; on leur fera remarquer qu'une differentielle complexe ou incomplexe,qui n'a qu'une même changeante x, peut être regardée comme l'élement de l'aire Fie. XLVIII. d'une courbe VDE dont x eft la coupée, ou la partie changeante de la coupée quand elle contient une conftante &

il

une changeante, & dont la quantité multipliée par dx est l'ordonnée. Pour avoir l'équation de cette courbe VDE, faut effacer dx de la differentielle propofée, & fuppofer une changeante y ou égale à la quantité qui reste après en avoir effacé dx.

Par exemple on a trouvé* que l'élement de la longueur *584. de la feconde parabole cubique AcC, dont l'équation eft x3

=pyy, étoit dxx p√4p+9x= dx x 1/

2

4P + yx z
qui
,
P

exprime le petit arc cC; on peut regarder cette differentielle comme l'élement de la quadrature de l'aire d'une courbe VDE, dont x eft la coupée ou la partie changeante l'ordonnée BE; &

de la coupée VAB, & 1 × 49 + 9×

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2

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Ι

2

l'équation de cette courbe sera y = × 4+9x ; & ren

I
Pi

dant cette équation commenfurale, on aura yy

4p+9x

4P

qui eft l'équation d'une parabole fimple VDE, dont la cou-
pée VAB fe trouvera (en comparant cette équation avec
celle de l'art. 427, comme l'on a fait dans l'art. 442) égale
à px, c'est à dire, la partie conftante p eft VA, & la
partie changeante x eft AB, & commence au point A. Le
parametre VP= : 4 p.
41

On remarquera ici que l'on dit que la rectification d'une courbe, ou la mesure de la folidité du corps formé par la revolution de cette courbe autour d'une ligne droite donnée, ou la mesure de la furface courbe de ce corps, dépend de la quadrature de la courbe qui a la même differentielle pour l'élement de fon aire; ainfi la rectification de la feconde parabole cubique dépend de la quadrature de la parabole fimple.

Il est évident que la differentielle propofée, par exemple qui est l'élement de la longueur

dx x

I

2x p

I×4p+9x

14

de la parabole cubique, eft auffi l'élement de l'aire de la

2

parabole simple y = × 49* 1. L'integrale de cette dif

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ferentielle, qu'on trouvera par le cinquième Corollaire,*ou * 669.

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