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Cet exemple fuffit pour faire concevoir la methode particuliere qu'on y a expliquée, & pour l'appliquer aux exemples femblables.

Définition de quelques courbes méchaniques. 749. On peut imaginer des courbes méchaniques dont les ordonnées foient des lignes droites paralleles fur une ligne droite des coupées, de maniere que les ordonnées, quoique droites, foient égales aux arcs d'une circonference pris de fuite depuis le fommet, ou aux arcs d'une parabole, ou à ceux d'une autre courbe dont la rectification n'eft pas connue exactement, ou bien de façon que les ordonnées foient les puiffances telles que l'on voudra de ces arcs, multiplicesencore fi l'on veut par la coupée, ou par une puiffance quelconque de la coupée. On peut, par exemple, imaginer fur le diametre d'un cercle depuis le fommet, que les ordonnées foient de fuite égales aux arcs du cercle, aux quarrés de ces arcs, ou à leurs troifiémes puiffances, &c. & de même pour la parabole & pour les autres courbes dont on n'a pas la rectification exacte.

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591.

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&c. font les élemens de l'aire de ces

fortes de courbes mechaniques.

dx

X P 2X

De même un arc de parabole eft *S. 4x × √ px + 4xx ; nommant cet arc u; udx, u'dx, u3x dx, feront les élemens de l'aire de ces fortes de courbes, & ainfi des autres..

PROBLEME IV.

750. TROUVER les integrales des differentielles de la définition précedente, en fuppofant donnée la rectification contenue dans ces differentielles.

LA methode eft femblable à celle de l'article 713. Il faut trouver les termes de l'integrale indéterminée les uns aprés les autres, écrivant devant chacun un coeficient indéterminé, & prendre la differentielle de chacun de ces termes

à mesure qu'on le découvre; la differentielle du premier terme fera découvrir le fecond terme de l'integrale indéterminée; la differentielle du fecond fera découvrir le troifieme terme de l'integrale indéterminée, & ainfi de fuite, obfervant que chaque terme de la differentielle doit avoir au moins deux quantités. differentes avec des coeficients differents. Il faut enfuite fuppofer que la differentielle de l'integrale indéterminée eft égale à la propofée, c'eft à dire, il faut écrire la differentielle propofée avec le figne fous les termes correfpondants de l'autre. Enfin il faut fuppofer chaque terme de cette differentielle égal à zero; cette fuppofition donnera les équations dont on a befoin pour trouver les valeurs des coéficients indéterminés, lefquelles étant fubftituées à leur place dans l'integrale indéterminée, elle deviendra l'integrale de la differentielle propofee.

Pour trouver l'integrale de dx × S.

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rdx

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; ce qui donnera du

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3

on fup

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xdx Ceux qui voudront abreger, pourront supposer

Vzrx -xx

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Integrale indéterminée de u3d x.

S. u3 dx Au3 x + Bu2 × √zrx — xx + Cu3 + Dux

=

+ Ex√27x-xx + Fu.

Differentielle de l'integrale indéterminée.

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Il faut fuppofer Au3x pour le premier terme de l'integrale indéterminée, c'est à dire dans ce premier terme seule

ment on regarde u comme conftante; A est une indétermi née. Il faut prendre la difference de Au3x, & il eft évident que fon premier terme Au`dx, & la differentielle propofée iu'dx, feront le premier terme de la differentielle totale, lequel premier terme étant fuppofé = 0, on pourra =0, déterminer le coeficient indéterminé A.

Le fecond terme + 3Arixdy de la differentielle de Au3x,

V2rx

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où l'on a mis la valeur de du

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V2rx 1xx

toujours dans la fuite,) fait connoître que le fecond terme de l'integrale indéterminée, devant avoir une differentielle dont un terme foit correfpondant à ruxdx afin qu'on

Parr: -xx

puiffe faire une équation de ces deux termes pour déterminer le fecond coéficient, doit être Bux Varx-xx, (Best indéterminée,) dont la differentielle a trois termes, Fun defquels eft qui eft correspondant à 14ru'xdx

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V2rx -xx

Le fecond de ces trois termes, qui eft +

V zrx
Bru'dx

V2TX -xx

XX

fait

connoître que le troifiéme terme de l'integrale indéterminée doit être Cu3, (C eft indéterminée,) dont la differentielle 3Cru'd est le terme correfpondant à Bru'dx

V2rx Le terme

xx

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V21x

-- XX

ou fimplement Brudx, fait

connoître que pour avoir une grandeur correfpondante, il faut fuppofer Dux pour le quatriéme terme de l'integrale indéterminée, (D eft indéterminée, ) car le premier terme de fa differentielle fera Dudx, ou, fi l'on veut,

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qui eft la grandeur correfpondante que l'on cherche. Le fecond terme de la differentielle de Dux, qui est Drxdx fait connoître qu'il faut fuppofer E × √ırx — xx

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pour le cinquiéme terme de l'integrale indéterminée, ( E est indéterminée,) car le premier terme de fa differentielle eft qui eft la grandeur correspondante de

Exdx Varx 1XX

Drxdx

Varx- -xx.
Le

Le fecond terme

Erdx

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de cette differentielle, fait

connoître qu'il faut supposer Fu pour le fixiéme terme de l'integrale, (F eft indéterminée,)car fa differentielle_Frdx

Erdx

est la grandeur correspondante de V2rx

- xx

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Tous les termes de la differentielle de l'integrale indéterminée contenant plufieurs quantités, de façon qu'en fuppofant chacun de ces termes égal à zero, tous les coéficients peuvent être déterminés, l'integrale eft finie, & il ne faut plus chercher de nouveaux termes.

Il faut à prefent ôter la differentielle propofée 1u3dx du terme correspondant de la differentielle indéterminée; fuppofer chacun des termes égal à zero; ce qui donnera ici fix équations, par le moyen defquelles on trouvera les valeurs de A, B, C, &c. qui font A=1, B=37, C=-1, D=- 3r2, E · 3r3, F = 373. Enfin il faut fubftituer ces valeurs dans l'integrale indéterminée, & l'on aura ru3 — zr2ux S. u3dx = 1 u3 x + 3ru2 × √2rx

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· 3 ·r22 × √2rx -xx+33, pour l'integrale de la differentielle propofée. Ce qu'il falloit trouver.

Cet exemple fuffit pour faire concevoir clairement la methode & la maniere de l'appliquer; les Lecteurs pourront fe la rendre familiere par des exemples.

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Où l'on explique le calcul differentiel & le calcul integral
des expreffions logarithmiques, & des quantités
exponentielles.

AVERTISSEMENT.

451. LES logarithmes des nombres font d'usage pour faciliter les calculs les plus difficiles & les plus embaraífés des nombres dans la refolution des Problêmes des parties pratiques des Mathematiques, comme de l'Astronomie, de la Marine, de la Geometrie pratique, &c. Il y a auffi des courbes qui contiennent toutes les grandeurs poffibles avec leurs loga.

I liii

2

752.

* 643.

rithmes, c'est à dire toutes les grandeurs poffibles qui font une progreffion geometrique infinie, qui va en augmentant depuis celle de ces grandeurs que l'on peut prendre à difcretion pour l'unité, & en diminuant à l'infini du côte oppofé depuis la même unité; ces courbes contiennent encore les grandeurs qui font une progreffion arithmetique, dont zero (qui eft le terme de la progreffion arithinetique correfpondant à l'unité de la progreffion geometrique, & qui en eft le logarithme) eft entre les termes pofitifs à l'infini de cette progreffion arithmetique qui font les logarithmes des termes correfpondants de ceux de la progreffion geometrique qui furpaffent l'unité, le premier étant le logarithme du premier, le fecond du fecond, &c. & entre les termes négatifs de la même progreffion arithmetique,qui font auffi les logarithmes des termes correfpondants de la progression geometrique. Ces courbes, que l'on peut appeller logarithmiques, font auffi de grand ufage dans la Geometrie compofée, furtout dans la Partie qui traite des courbes méchaniques, pour décrire certaines courbes, en trouver les proprietés qui fe découvrent par le feul calcul differentiel, comme leurs tangentes, les points où elles s'écartent ou s'approchent le plus de leur axe, &c. & celles que l'on découvre par le calcul differentiel & le calcul integral joints ensemble, comme la rectification des courbes, leur aire, &c. lefquelles defcriptions & proprietés ne peuvent pas fe découvrir par les regles dont on fe fert pour les autres courbes.

La premiere de ces courbes logarithmiques eft l'hyperbole FIG. XLVII, équilatere; car l'on a fait voir qu'en prenant tous les nombres de fuite fur KGF l'une des afymptotes, fuppofant que KG eft l'unité, & que chaque nombre plus grand que l'unité, comme KF, eft exprimé par 1+x, & que chaque nombre plus petit que l'unité, comme KP, eft exprimé par le quadrilatere hyperbolique GAFF qui eft fur l'excès GF de ce nombre fur l'unité, ou GACP qui eft fur l'excès PG de l'unité fur ce nombre, eft le logarithme de ce nombre 1+x ou I-x. On a auffi démontré* de même PC que Ff étant égale à KG × G étant égale à KG XGA

643.

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KP

GAFF eft, & celui

KF

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I &

I+x)

que

=, l'élement du quadrilatere

I
1-x

de GACP eft & par confequent,

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