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du*=

√dx2 + dy2 = (en substituant au lieu de dy1 fa * 582. valeur ad prife de l'équation de la courbe dy:

xx -aa

xdx Par confequent dy + du

'xx - aa'

adxxdo
Jxx-aa

=

adx

Jxx

- aa

:)

(en divifant

x

x-a

le numerateur & le dénominateur par √x+a) dx√x. Il· faut trouver une courbe dont les coordonnées x & y ayent la même origine E que les x & les y de la courbe BA, & fe prennent fur les mêmes lignes; & nommant (+) chacun des arcs de cette nouvelle courbe depuis fon fommet, l'élement de fa rectification foit dtdxv. Pour cela il faut fuppofer dt=dxvxa :*✔dx2+dy2; ce qui donnera xdx2+adx2 * 582=dy2 + dx2, & ôter dx2 de chaque membre, & l'on aura xdx2 + adx2 - dx2 24dx=dy2; ce qui donne dy: en prenant les integrales, on aura y = 2√2 a x x — a = √8a xx-a, qui eft l'équation d'une parabole fimple dont les coupées font x-a; c'est à dire, l'origine des coupées eft au point 4, & le parametre = 8a.

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dx2 =

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=

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-

x

:

C'est pourquoi fi l'on décrit fur l'axe AD la parabole AG dont le parametre soit 8a, & qu'on prenne une droite égale à la longueur, qu'on fuppofe donnée, de chacun des arcs de cette parabole, & qu'on applique cette droite au point correfpondant de l'hyperbole équilatere AF, fur l'ordonnée de ce point là; par exemple fi l'on prend la droite égale à AG, & qu'on l'applique au point F correfpondant à G, fur FD, le point B où le terminera cette droite == =AG, fera un point de la courbe BA formée par la chaîne. On trouvera de même chacun des autres points: car la longueur de l'arc AG S. dt = S. dt = S.dxvx4=(en multipliant le nu merateur & le dénominateur par √x+a) S ̧ xdx + adx — S.

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l'ordonnée de l'hyperbole équilatere AF, il refte S.dy=y C'est l'équation de la courbe BA, qu'il falloit

adx

Sxx — aa

=S.

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conftruire.

111. Par la logarithmique.

Il faut fuppofer la differentielle logarithmique d

L

=

adx

Jxx-aa

dy, & chercher la ligne qui peut avoir pour logarithme

23

adz 43: ** S. pour cela il faut fuppofer = x, ce qui donnera ༢༢.— 2ཙ༢.+@@= o; d'où l'on tirera deux valeurs positives dez, fçavoir zx±√xx— aa, ( la plus grande valeur de aura le figne +, & la moindre le signe nant la differentielle, on aura dz=

adz

adx

xx - aa

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quo.

vifant le premier membre par z, & le second par la valeur de z=x±√xx—aa, on trouvera en multipliant les ༢= tients par a, : ce qui fait voir que les grandeurs, dont S. ad est le logarithme, font, la plus grande z=x aa, la moindre z=x- Vxx aa; & les ajoutant ensemble, leur fomme fera 2x, dont la moitié est la grandeur x, c'est à dire la coupée de la courbe BẠC formée par la chaîne. Ce qui donne cette construction.

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1o. Il faut mener par E l'origine des x, l'horizontale fEK, la prendre pour l'axe de la logarithmique, c'est à dire pour la ligne des logarithmes y = S. a =S. logarithmique IAL qui paffe par le point Д, où l'on a AE dont la foutangente foit par-tout égale à AE (a), & AE(a) fera prife pour l'unité dont le logarithme eft zero, les logarithmes EK (y) à la droite de AE, feront les logarithmes des grandeurs KZ qui furpaffent l'unité (a), & les logarithmes Ef(y) à la gauche de AE, feront les logarithmes des grandeurs fI moindres que a, & ces logarithmes feront y S. ad & les grandeurs, dont ils

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2o. Il faut prendre de chaque côté de Ę deux logarithmes égaux EK, Ef, & ajouter ensemble les deux grandeurs KL, fI, dont ils font les logarithmes; ces grandeurs feront KL

√xx-aa

aa

an

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=x=x+√xx-aa, f1 == x - √xx — aa; car
=༢=*+
( à cause des logarithmes égaux EK — Ef = y = S. adz
=S. ,)l'unité a eft moyenne proportionnelle entreKL(z)
& f1(4): Or il est évident que leur fomme fera KL + fI
༩༢+ =2x. Il faut prendre la moitié de cette fomme,
qui fera ^^=x, & faire KC, fB chacune égale à K+ƒ1
=x, & les points C&B feront chacun un point
de la courbe BAC formée par la chaînette. On trouvera
de même les autres points deux à deux. Car, par la conf-
truction, en prenant pK & fm chacune― dc=dy—adz
adx EK & son égale Eƒ font chacune =y=S. ad

=

༢༢+༩.

22

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S. adx

+aa

23

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↓ xx — aa

2

=DC=DB, & c'est l'équation de la courbe. De plus les logarithmes égaux EK, Effont, par la conftruction, les logarithmes, le premier de KL=2=x+√xx_aa, & le fecond de f1 = ^^ — — √xx-aa, & la moitié de la fomme K+ fI KCfB, eft égale à la coupée ED (x) de la courbe BAC; parceque c'est la coupée (x)de la courbe BAC qui fe trouve dans l'expreffion dy =4

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dans x=x+√xx-aa. Enfin en tirant lp & lp, de façon
que dC (dy) foit égale à lp & à Kp, & la tangente LS, &
nommant KZ ( x + √xx — aa ;) Lp fera dxxx-aa+xdx ; lp
=pK fera, par la construction, dy = adz

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lp(dy) :: LK ( x +√xx — aa). KS (a), qui donne l'équa.

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832. SUPPOSANT qu'un corps pefant, étant mùs par sa feule pefan- FIG.LXII. teur, doive aller du point A au point K qui font donnés, non pas dans la même verticale, mais dans la droite AK qui fait un angle aigu KAB avec l'horizontale ABD; trouver la courbe ACGK que doit décrire ce corps par sa seule pefanteur pour aller de A TTttt iij

en K le plus vite qu'il eft possible, c'est à dire, en y employant le moins de temps qu'il eft posible.

Qu'on imagine que la courbe qu'on cherche, est ACEGK; il est évident qu'en prenant deux parties voifines quelconques infiniment petites CE, EG de la courbe, le mobile doit employer à les parcourir le moindre temps poffible; car s'il employoit plus de temps à parcourir les deux particules CE, EG, que deux autres CH, HG qu'on pourroit imaginer, eft clair que la courbe qu'on cherche feroit ACHGK,& non pas ACEGK, contre la fuppofition.

il

Pour refoudre le Problême, on va chercher par les conditions données une proprieté commune à ces deux particules CE, EG, c'eft à dire qui foit exprimée par une même équation, & ce fera l'équation de la courbe qui exprime une proprieté qui convient à chacun de fes points ou à chacune des parties infiniment petites dont elle eft compofée.

On prendra les coupées fur l'horizontale ABD, & les ordonnées feront les verticales BC, DE, FG, &c. & ayant pris les deux parties infiniment petites CE, EG, qu'on confiderera comme changeantes, on nommera CE (2), EG (u); & comme on les fuppofe prifes à une hauteur connue, les ordonnées BC, DE feront regardées comme connues, & on nommera BC (b), DE (e), & l'on menera les horizontalės CI, EL ; on regardera les points C, G comme donnés de pofition fur le plan vertical, & CI, EL auffi données de pofition; mais les petites parties de la courbe CE, EG étant regardées comme changeantes, il faut qu'on puiffe les faire: joindre à un point E fur l'horizontale ZE donnée de pofition; de façon que le temps que le mobile employera à les parcourir, foit moindre que le temps qu'il emploiroit à parcourir deux autres petites parties de courbe CH, HG qui fe joindroient à un point H different de E. Cela fuppofe, le mobile étant defcendu de la hauteur BC quand il parcourt CE, & de la hauteur DE quand il parcourt EG, la viteffe * 308. avec laquelle il parcourt CE doit s'exprimer* par VBC (Vb), &VDE (Ve) fera la viteffe avec laquelle il parcourt EG, & *301. le temps qu'il employe à parcourir CE s'exprimera par* C (); de même EG () exprimera le temps qu'il employe V DE à parcourir EG. Or il faut par les conditions du Problême,

СЕ

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e

= 0.

que la fomme de ces deux temps+foit un moindre ;
par confequent la differentielle de cette expreflion doit être
égale à zero; ce qui donne l'équation d
Qu'on imagine à prefent dans LE prolongée en H la
ligne EH infiniment petite par raport à EL, c'est à dire,
que EH eft un infiniment petit du fecond genre, puifque EL
differentielle de la coupée, eft un infiniment petit du premier
genre: Qu'on tire CH, GH, & du centre C avec le rayon CE
le petit arc Em qui rencontre CH en m, & de même du cen-
tre G avec le rayon GE le petit arc En; il eft évident que Hm
eft la difference dz de CE(z) ; & comme CE va en dimi-
nuant, étant plus grande que CH de l'excès Hm, Hm est
une difference négative; ainfi Hm-dz. De même Hn
=du, & du eft pofitive, parceque GE (2) augmente en
devenant GH de la differentielle Hn (du). Les angles CEI,
HEm font égaux, faisant chacun un angle droit avec l'an-
gle CEH. Les angles HEn, EGL font auffi égaux, faifant
chacun un angle droit avec l'angle GEL; car, à cause du
triangle GE L rectangle en L, EGL GEL font un angle
droit, & les trois angles au point E fur HL, HEnnEG

=

GEL faifant deux angles droits, & nEG étant droit, HEn + GEL valent un angle droit. En prenant HE pour le rayon, Hm(-dz) eft le finus de l'angle HEM CEI, & Hn(du) eft le finus de HEn= EGL. D'où l'on voit qu'en donnant un rayon égal aux angles CEI, EGL, Hm (—dz) eft à Hn(du), comme le finus de CEI au finus de EGL.

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3

Si l'on fait donc cg = EG, & qu'on tire gl parallele à EI, l'angle cgl fera égal à CEI, & les rayons Cg, EG étant égaux, cl finus de l'angle cgl, égal à l'angle CEI, fera à EL finus de EGL, comme dz eft à du. Or nommant CI(m), & EL(n), on trouvera (à caufe des bases paralleles EI, gl de l'angle ECI) la valeur de C/ par cette proportion CE(2). CgEG EG (u):: CI(m). Cl. On vient de démontrer que Hm(-dz). Hn(du) :: Cl(m). EL (n). Donc du nd. Il faut fubftituer cette valeur de du dans l'équation +o, & elle deviendra d

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du

++

=0

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36

nzdz mu XVe

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=

d'où l'on

tire mu x Venz× Vb; & divifant chaque membre par mn,

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**; c'est à dire (en mettant les lignes

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; ce qui fait

EL

5560

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