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PROBLEME III.

Connoiffant une Rente r qu'on veut recevoir à la fin de chaque année pendant un tems donné; trouver la Somme p qu'il faut prêter actuellement.

On vient de voir au Problême II. que pour recevoir r au bout d'un an, il falloit donner ac

ar

a+b

tuellement ; que pour recevoir r au bout de il falloit donner actuellement

a3r

a+zaab+3abb + b3•

aar

ac+2ab+bbs

deux ans, que pour recevoir r au bout de trois aņs, il falloit prêter actuellement Celui qui veut recevoir r à la fin de chaque année pendant quelque tems, doit donc fournir autant des prêts ci-dessus. Ainfi celui qui veut recevoir r pendant deux ans, doit fournir les deux premiers prêts ; celui qui veut recevoir r pen

ar

aar

& a+b aa+2ab+bb

dant trois ans, doit fournir les trois premiers prêts.

ar

aar

&

63r

&c. Si on fait les additions des prêts ci-dessus, c'est-à-dire, des deux premiers, des trois premiers, des quatre. premiers, &c. après avoir fait les réductions nécessaires, on aura p= pour recevoir une

a+b aa+2ab+bb 63+za ab+3abb +639

fois; p=

p=

zaar+abr

ar

a+b

a a +2ab+bb pour recevoir r deux fois;

3a3r+za abr+abbr

a2+ 3 aa b+3ab b+b2 pour recevoir r trois fois,

&c. Or qu'on décompose un de ces résultats,

3a+3aabr+abbr

par exemple, le dernier, p=a+3aab+3abb+b3

zaa+zab+bb

a2+3 aub+3abb+b3

; on

aura par× 346: & l'on remarquera que le numérateur 3 aa+3 ab+bb de la fraction qui multiplie ar, eft le quotient qui vient en divifant par b la différence 3 a ab+3 abb+b3, des troifiemes puiffances de a & a+b; si c'étoit pour quatre ans, ce seroit la différence des quatriemes puiffances de a & a+b; fi c'est pour deux ans, c'est la différence des fecondes puiffances de a & a+b, & ainfi des autres.

REGLE.

Ce qui montre que pour trouver ce qu'on doit prêter actuellement pour recevoir r pendant un nombre d'années quelconques, il faut élever a (denier de l'intérêt) & a+b (denier de l'intérêt avec l'intérêt) à autant de degrés qu'il y a d'années ; ôter la puissance du denier de l'intérêt fimple a, de celle du denier de l'intérêt avec l'intérêt a+b, & divifer le refte par l'intérêt b; multiplier le quotient par ar produit du denier de l'intérêt par la fomme qu'on veut recevoir tous les ans, & divifer le produit par la puissance de a+b, le quotient fera ce qu'on doit prêter pour recevoir r pendant le nombre d'années donné.

B iij

EXEMPLE.

Soit la fomme qu'on veut recevoir par an r = 100, le denier de l'intérêt a=16, & l'intérêt b=1 ; & l'on demande ce qu'il faut prêter pour recevoir 100 livres par an, pendant quatre ans. Faites les quatriemes puiffances de a= 16 & de a+b=17, qui font 65536 & 83521; ôtez la premiere de la feconde pour avoir le reste 17985, qu'il faut divifer par l'intérêt b; mais parce que b=1, le refte 17985 eft lui-même le quotient : il faut le multiplier par ar=1600, produit du denier de l'intérêt 16 par la fomme 100, qu'on veut recevoir annuellement; on aura pour produit 28776000, que l'on divifera par 83521, quatrieme puissance de a+b=17; le quotient 344 liv. 10 f. 9 d. est ce qu'on doit prêter actuellement pour recevoir 100 livres par an pendant les quatre années.

AUTRE EXEMPLE.

Soit la fomme qu'on veut recevoir par an 100000 livres, le denier de l'intérêt a=100, & l'intérêt b=7; & l'on demande ce qu'il faut prêter pour recevoir 100000 livres par an pendant trois ans.

Faites les troisiemes puiffances de a=100 & de a+b=107, vous aurez a3 = 1000000 &a+b2=1225043: ôtez la premiere 1000000 de la feconde 1225043, pour avoir le refte 225043, que vous diviserez par 7=b; le quotient fera 32149, que vous multiplierez par ar=10000000; & vous diviferez le produit 321490000000 par 1225043, troisieme puiffance de a+b=107; le quotient 262431, est ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an pendant les trois années, les intérêts étant comptés à 7 pour 100.

On abregera de beaucoup le calcul, fi l'on opere par les logarithmes: ce que j'en ai dit aux deux Problêmes précédens, fuffit pour ceux qui connoiffent les admirables propriétés de ces nombres; & ce n'eft pas ici le lieu de m'étendre fuffifamment pour ceux qui n'en fçavent pas les ufages: ceux qui voudront les connoître, pourront voir ce que j'en ai dit dans mon Traité de Trigonométrie, ou dans les autres Livres qui

en traitent.

La premiere page de la troifieme Table, montre ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100 livres par an, pendant tel nombre d'années qu'on voudra qui n'excede pas 100 ans,

les intérêts étant comptés felon les trois deniers 20, 18 & 16. Ainfi celui qui veut recevoir 100 livres à la fin de chaque année pendant dix ans, doit donner actuellement 772 liv. 3 f. 5 d. fi les intérêts font comptés fur le pied du denier 20; il ne doit donner que 751 liv. 15 f. 5 d. fi on les compte felon le denier 18; & 727 liv. 7 £. d. fi on les compte felon le denier 16.

3

Il est aifé de voir que fi l'on a formé la feconde Table, on peut se passer de la formule pour conftruire la Table dont on vient de parler. Car on n'a qu'à ajouter autant de prêts pris de fuite dans la feconde Table, en partant du premier, qu'on veut que la Rente soit payée d'années, c'est-à-dire, les deux premiers, les trois premiers, les quatre premiers, &c. & l'on aura les prêts de la premiere page de la troisieme Table.

Les deux dernieres pages de la troisieme Table, montrent ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an, pendant tel tems qu'on voudra qui n'excédera pas vingt-cinq ans, & pour tel intérêt qu'on voudra depuis 4 pour 100, jusqu'à 13 pour 100, en augmentant deen. Ainfi celui qui voudroit recevoir 100000 livres par an pendant huit ans, les intérêts

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