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fiéme FCEG, feront un Triangle, dont les deux côtez BF, BG feront ensemble plus grand que le troifiéme FCEG (par la 20. du 1.) Mais les lignes FC,GE font égales à BF, BG ( par la définition du Cercle) donc ces mêmes lignes FC, GE feroient auffi plus grandes que la ligne entiere FCEG, c'eft-à-dire, la partie que le tout, ce qui eft impoffible; il eft donc impoffible que la ligne qui eft menée par les centres F & G, paffe par un autre point que B. C. Q. F. D.

PROPOSITION XIII.

THEOREME.

Deux Cercles fe touchent feulement dans un point.

Remierement, fi deux Cercles fe

Premieremente dans ils ne Cercouchée

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ront qu'en un feul point C, marqué par la ligne BAC, qui paffe par leurs centres A & B; car s'ils fe touchent encore au point D, tirez les lignes AD, BD.

Démonftration.

Les lignes AD, AC étant tirées du cen- Fig. 12 tre du petit Cercle, font égales, & ajoû

tant AB, les lignes BA, AC, & BA, AD feroient égales: or BC, BD étant tirées du centre du grand Cercle, feroient auffi égales; donc les côtez BA, AD feroient égaux au feul côté BD, ce qui eft contraire à la Propofition 20. du 1.

Secondement, fi les deux Cercles fe touchent en dehors, tirant la ligne AB d'un centre à l'autre ; elle paffera par le point Coù les Cercles fe touchent (par la 12.) car fi vous dites qu'ils fe touchent encore au point D, ayant tiré les lignes AD, BD; les lignes BD, BC, AC, AD étant égales, les deux côtez d'un Triangle pris enfemble feroient égaux au troifiéme; ce qui eft contraire à la Propofi-tion 20. du 1.

USAGE.

Les Propofitions precedentes s'entendent pour ainfi dire d'elles-mêmes, je les ai neanmoins voulu demontrer pour accoutumer ceux qui commencent la Geometrie, à ne recevoir pour vrai, que ce qui leur a été prouvé. Quant à l'usage qu'on peut faire de ces trois Propofitions, on peut s'en fervir dans l'Aftronomie, pour expliquer le mouvement des Planettes quand on fe fert d'Epycicles.

PRO-

PROPOSITION XIV.

THEOREM E.

Les lignes égales tirées dans un Cercle, font également eloignees du centre ; & celles qui font egalement éloignees du centre, font egales.

E dis que

J fi les lignes AB & CD font Pl. z.

également éloignées du centre E, elles Fig. 18, feront égales: tirez les lignes EG & EH perpendiculaires fur AB, CD, elles seront égales par la définition 6. On fçait auffi (Far la Propofition 3.) que ces perpendiculaires divifent en deux également les lignes AB & CD, aux points G & H. Tirez les lignes ED & EB qui feront des rayons du Cercle, puifqu'elles font tirées du centre E.

Démonftration.

Je dis premierement, que les Triangles rectangles BGE & EHD ont tous leurs côtez égaux ; car on fçait que les lignes BE & ED font égales, auffi bien que les deux autres GE & EH: or les quarrez de ces lignes égales feront égaux entr'eux ; (par la 47. du 1.) le quarré GE ne

L

Pl. 2.

;

pourra valoir le quarré EB, qu'en lui ajoûtant le quarré GB: pareillement le quarré EH ne pourra valoir le quarré ED ou EB, qu'en lui ajoûtant le quarré HD; mais comme les quarrez des côtez EG & EH font égaux, il s'enfuit que les quarrez des côtez GB & HD, le feront auffi, partant GB & HD font des lignes égales; & comme elles font les moitiez des lignes AB & CD, je conclus que ces lignes font aulfi égales.

PROPOSITION XV.

THEOREM E.

De toutes les lignes qu'on peut tirer dans un Cercle, celle qui paffe par le centre, eft la plus grande; & celle qui approche le plus du centre, eft plus grande que celle qui en approche le moins.

13. S centre. C, qui fera par conféquent le Oit donc la ligne DE qui paffe par le par

diametre ; il faut démontrer que cette ligne eft plus grande que AB; tirez les rayons CA & CB.

Démonftration.

Dans le Triangle ACB, les deux côtez

AC & CB pris ensemble, font plus grands que le troifiéme AB ( par la 20. du 1.) or comme ces deux côtez CB & AC font égaux à la ligne DE, il s'enfuit cette ligne DE fera plus grande que AB.

que

Préfentement confiderez que plus les extrêmitez A & B des rayons AC & CB approcheront de D & de E, plus l'angle ACB fera ouvert ; & par conféquent le côté AB deviendra plus grand, étant oppofé à un angle plus ouvert; donc plus une ligne approche du centre, plus elle excede fur une autre qui en eft plus éloignée.

USAGE.

Cette Propofition peut fervir confidera blement pour connoitre le rapport des Cercles paralleles qui font decrits fur une fphere, trouver combien ceux qui font ren→ fermez entre le Pole & l'Equateur, font plus petits que celui qui a pour diametro celui de la Sphere.

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