Pl. 1. Fig. 16.

8. Les lignes & les angles égaux, étant mis l'un sur l'autre, ne se surpassent pas. 9. Le tout est plus grand que sa partie. 10. Tous les angles droits font égaux

entr'eux.

L'onziéme Maxime d'Euclide porte que, si les lignes AB, CD, forment avec la ligne EF, qui les coupe toutes deux, des angles internes BEF, DFE, plus petits que deux droits, ces lignes AB, CD étant prolongées, se rencontreront vers B & D.

Quoique cette Maxime soit véritable, elle n'est pas afsez claire pour être reçûë pour Maxime : ainsi j'en substitue une autre en sa place.

11. Si deux lignes font paralleles, tou tes les perpendiculaires renfermées entre elles feront égales.

Pl. 1. Comme, fi les lignes AB, CD font pa Fig. 17. ralleles, les lignes perpendiculaires FE, HG, font égales. Car fi EF étoit plus grande que GH; les lignes AB, & CD Jeroient plus éloignées entre elles vers les points E&F, que vers G, & H : ce qui feroit contre la définition des paralleles, laquelle porte, qu'elles ont par tout la même distance, mesurée par des perpendiculaires.

12. Deux lignes droites, ne compren

ne

went pas une espace : c'est-à-dire l'enferment, & ne l'entourent pas de tous côtez.

13. Deux lignes droites, n'ont pas un Pl. 1. fegment commun: Je veux dire que des Fig. 184 deux lignes droites AB, CB qui se rencontrent au point B, il ne se fait pas une feule ligne BD; mais qu'elles se coupent, & se Separent après s'éire rencontrées en B. Car Si on décrit un Cercle du point B comme centre, AFD feroit un demi Cercle, puifque la ligne droite ABD, passant par le centre B, divise le cercle en deux également. Le Segment CFD feroit aussi un demi Cercle, puisque CBD feroit aussi une ligne droite qui passeroit par le centre B: Donc le segment CFD feroit égal au fegment AFD, la partie a fon tout; ce qui feroit contraire à la neuviéme Maxime. AVERTISSEMENT.

Nous avons deux fortes de Propositions : quelques-unes ne font que considerer une verité, fans defcendre a la pratique; & nous les appellons Théoremes. Les autres nous propofent quelque chose à faire; & on les appelle Problémes.

Le premier nombre des citations, est celui de la propofition: Le second marque le Livre. Comme par la 2. du 3. signifie, par la feconde Proposition du troisième Livre, Que

fi on ne rencontre qu'un nombre, il fignifie la Proposition du Livre que l'on explique.

PROPOSITIΟΝΙ.

PROBLEME.

Tracer un Triangle équilateral fur une ligne donnée.

Q

U'on propose la ligne AB pour base d'un Triangle équilateral. Décrivez du centre A, & de l'intervalle AB, le Cercle CBD: Décrivez aussi du centre B, & de l'intervale BA, le Cercle DAC, qui coupe le premier au point C. Tirez enfuite les lignes AC, BC. Je dis que tous les côtez du Triangle ABC sont égaux. Demonstration.

Pl. 1 Les lignes AB, AC, tirées du même Fig. 19. centre A, à la circonference du Cercle CBD, font égales par la définition du Cercle: les lignes BA, BC font auffi égales, puisqu'elles font tirées du centre B, à la circonference du Cercle CAD: enfin les lignes AC, BC étant égales à la même ligne AB, font auffi égales entre-elles par le premier Axiome. Donc les trois côtez du Triangle ABC font égaux.

USAGE.

On peut se fervir tres - utilement du Pl. 23 Triangle équilateral pour trouver une dif-Fig. 20. tance inacceffible, telle que la largeur d'une Riviere. Il faudroit pour cela décrire un Triangle équilateral fur une planche, & s'en fervir en cette forte: le Triangle BDE étant pose horisontalement, observez un point A au-dela de la Riviere, par le côté BD, & quelque autre point C, par le côté BE: transportez votre Triangle le long de la ligne BC, & faites en forte de pouvoir le placer dans un endroit, où vous puissfiez le long des côtez CG & CF, voir les points B& A. Je suppose qu'on y foit parvenu, & que le point C foit celui qu'on cherche ; cela etant on aura le Triangle équilateral AB C, dont le côté BC peut se connoitre. On peut auffi connoître la distance DF, qui étant parallele à BC peut paffer pour la base du Triangle équilateral DAE, lequel étant rapporte fur le papier par le moyen d'une Echelle, on peut trouver la perpendiculaire AN, qui est la distance qu'on cherche.

Fig. 21.

PROPOSITION II. & III,

PROBLEME.

1. Tirer d'un point donné une ligne égale à un autre. 2. Couper d'une grande ligne une partie égale à une plus petite.

I l'on veut du point donné B, décriS re une ligne égale à la ligne A; prenez avec le Compas la longueur de cette ligne, & du point donné B comme centre décrivez un Cercle. Puis ayant tiré une ligne BD du centre à la circonference elle sera égale à la donnée A par la définition du Cercle.

Maintenant si l'on veut de la grande ligne BC, retrancher une partie égale à la ligne A, il ne faut que prendre la longueur de cette ligne avec le Compas, & de l'extrêmité B comme centre décrire un Cercle, qui ayant coupé la ligne BC, on aura la partie BI, qui est ce qu'on demande.

USAGE.

On est souvent obligé de faire une ligne égale à une autre, & retrancher d'une grande ligne une partie égale à une plus petite