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petite, quand on conftruit des figures fur le Papier; on peut néanmoins remarquer, qu'il fuffit quand on veut faire une ligne égale à une autre, de marquer deux points fans décrire de Cercle comme Euclide l'enfeigne.

PROPOSITION IV.

THEOREME

Si deux Triangles ont deux côtez égaux chacun au fien, & les angles d'entredeux égaux, ils auront auffi les bafes &les autres angles égaux.

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Ux deux Triangles propofés on fuppofe que le côté AB eft égal au côté DE, & que pareillement les côtez AC & DF font égaux, auffi bien auffi bien que les angles A & D. On veut démontrer que les bafes BC & EF font égales, auffi bien que les angles qui font à leurs extrê, Fig. z24

mitez.

Démonftration.

Si l'on fuppofe le Triangle ABC pofé fur le Triangle DEF, en forte que les côtez égaux conviennent parfaitement, les angles A & D ne fe furpafferont pas, puifqu'ils ont été fuppofés égaux, nom B

&23.

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Fig. 24,

&'25.

plus que leurs côtez AC, DF & AB, DE. Cela étant leurs extrêmitez viendront aboutir les unes fur les autres, & la bafe BC fe trouvera précifément égale à la bafe EF; les angles B & E feront égaux, puifque les côtez AB, BC de l'un conviennent parfaitement fur les côtez DE & EF de l'autre. L'angle C fera auffi démontré égal à l'angle F, par la même raifon. Donc ces deux: Triangles font égaux en tout fens, puifque nous avons fait voir qu'étant pofés l'un fur l'autre, ils ne fe furpaffent point. C. Q. F. D.

USAGE.

Qu'on doive mesurer la ligne inacceffible AB; je regarde du point C, les points A &B; puis je mefure l'angle C. Je mefure avec la toife les lignes AC, BC, que je fuppofe être acceffibles. Je m'écarte enfuite dans la Campagne, je fais un angle DFE égal à l'angle C. Je fais auffi FD & FE égaux à CA & CB. Or fuivant cette Propofition les lignes AB, DE font égales. C'est pourquoi mefurant avec la toife la ligne ac→ ceffible DE, je connoîtrai la ligne inac ceffible AB.

PROPOSITION V.

THEOREM Е.

Dans les Triangles Ifofceles, les angles qui font deffus la bafe font égaux, comme auffi ceux qui font au deffous.

Ue le Triangle ABC foit ifofcele,

Qc'eft à-dire, que les côtez AB,

AC foient égaux ; je dis que les angles ABC, ACB font égaux, comme auffi les angles GBC, HCB, qui font au deffous de la bafe BC. Qu'on s'imagine un autre Triangle DEF, qui ait l'angle D égal à l'angle A, & les côtez DE, DF égaux aux côtez AB, AC. Puifque les côtez Fig. 27. AB, AC font égaux, les quatre lignes - AB, AC, DE, DF font égales.

Demonftration.

Puifque les côtez AB, DE, AC, DF font égaux, comme auffi les angles A & D; fi on mettoit le Triangle DEF, sur ABC, ils ne fe furpafferoient pas l'un l'autre, mais la ligne DE tomberoit fur AB; DF fur AC; & EF fur BC ( par la 4.) Donc l'angle DEF, feroit égal à ABC. Et puifqu'une partie de la ligne

DE, tombe fur AB; toute la ligne DI; fera fur AG, autrement deux lignes droi tes n'auroient qu'une partie commune; donc l'angle IEF fera égal à GBC. Que fi on renverse le Triangle DEF, le préfentant d'un autre fens au Triangle ABC, c'est-à-dire, de telle forte que DF ton be fur AB, & DE fur AC. Puifque les quatre lignes AB, DF, AC, DE font égales; comme auffi les angles A & D: les Triangles s'ajufteront dans ce fens, & les angles ACB, DEF, HCB, HCB, IEF feront égaux. Or dans la premiere comparaison, l'angle ABC étoit égal à DEF, & GBC à IEF; donc les angles ABC, ACB qui font égaux au même DEF, & GBC, HCB, qui font auffi égaux au même IEF, feront égaux entr'eux,

PROPOSITION VI

THEOREMЕ.

Si un Triangle a deux angles égaux en
tr'eux, les côtez qui le foutiennent
feront auffi égaux.

J deux, ingles B & C égaux, cela étant,
E fuppofe que le Triangle ABC a les Fig. 26,

je dis

que les côtez AB, AC qui foutiennent ces deux angles, font auffi égaux. Démonftration.

Pour faire voir que le côté AB est égal au côté AC, fi les angles B & C font égaux. Suppofons pour un inftant qu'ils font inégaux; retranchez du côté AB, que je fuppofe être plus grand que AC, la partie BD égale à ce même côté AC; tirez la ligne CD: enfuite comparez le Triangle DBC avec le Triangle ABC, le côté DB du premier Triangle, est égal au côté AC, du fecond par fuppofition. Or le côté BC eft commun aux deux Triangles; de plus l'angle B compris entre ces deux côtez DB & BC, est egal à l'angle ACB compris des deux côtez AC & CB; donc (par la 4) les Trian

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