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Pl. 2. Fig. 23.4

LES ELEMENS D'EUCLIDE, D, A & C feront droits, & (par la 29. du 1.) les lignes AC, BD feront paralle les. La figure ABCD fera donc parallelograme. Or (par la 34. du 1.) les lignes AB, CD font égales; c'est à dire, que les plans dans les points A & C, font également éloignés: ainfi pouvant tirer las ligne CD, par quelque point que ce foit, les plans AB, CD feront par tout également éloignés l'un de l'autre.

USAGE.

les

Theodofe démontre que les Cercles qui ont les mêmes poles, comme l'équinoxial, tropiques font paralleles; parce que l'essieu du monde eft perpendiculaire à leur plan.

PROPOSITION XV..
THEOREM E.

Si les deux lignes qui fe rencontrent au mê-
me point, font paralleles à deux lignes:
d'un autre plans les plans de ces lignes
feront paralleles.

Saulinos DE, DE qui fot

I les lignes AB, AC font paralleles

aux lignes DF, DE qui font dans un autre plan; les plans BC, FE font paral-feles. Tirez AI perpendiculaire au plan BC (par la 11.)& GI, IH paralleles à

FD, DE; elles le feront auffi aux lignes
AB, AC(par la 9.)

Démonftration.

Les lignes AB, GI font paralleles ; & l'angle IAB eft droit, puifque IA eft perpendiculaire au plan BC: donc ( par la 29. du 1.) l'angle AIG eft droit, AIH eft auffi droit. Donc (par la 4.) la ligne AI eft perpendiculaire au plan GH; & l'étant auffi au plan BC, les plans BC, FE feront paralleles (par la 14.)

PROPOSITION XVI
THEOREME.

Si un plan en coupe deux qui foient paral-
leles, fes communes fections avec eux
feront paralleles.

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,

I le plan AB en coupe deux autres __PI. zz paralleles AC, BD: Je démontre que Fig. 24% les communes fections AF, BE feront paralleles. Car fi elles ne l'étoient pas, elles fe rencontreroient étant continuées, par exemple au point G.

Demonftration.

Les lignes AF, BE font dans les plans AC, BD, & n'en fortent pas (par la 1.) donc fi elles fe rencontrent en G, les plans

Pl. 2.

Fig. 25.

fe rencontreront auffi, & par confequent ils ne feront pas paralleles, contre ce que nous avons fuppofé.

USAGE.

Nous démontrons par cette Propofition dans le Traité des Sections coniques, & cy+ lindriques, que le Cone, ou le Cylindre étant coupé par un plan parallele à fa bafe, les fections font des Cercles; nous décrivons les Aftrolabes: nous prouvons dans la Gnomo→ nique, que les angles que font les Cercles horaires,avec un plan parallele à un grand Cercle, font égaux à ceux qu'ils forment dans le méme Cercle: nous démontrons » dans la Perfpective, que les images des li-gnes objectives perpendiculaires au tableau, concourent au point de vûë.

PROPOSITION XVII.

THEOREME,"

Deux lignes font divifées proportionnelle→ ~ ment par des plans parallèles.

UE les lignes AB, CD foient divifées par des plans paralleles. Je dis que AE eftà EB, en même raifon que CE FD, tirez la ligne AD, qui rencontre

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le plan EF, au point G: tirez auffi ÁĆ,
BD, FG, EG.

Démonftration

Le plan du Triangle ABD, coupe les trois plans: donc (par la 16. ) les fections BD,EG feront paralleles: & (par la 2. du 6.) il y aura même raison de AE à EB,que ́ de AG à GD. Pareillement le plan du Triangle ADC, coupe les plans EF, AC-: donc les fections AC, GE, font paralleles, & il y aura même raifon de FC à FD, que de AG à GD,c'est-à-dire,que de AE à EB.

PROPOSITION XVIII

THEOREME.

Si une ligne eft perpendiculaire à un plan „ɔ
tous les plans dans lefquels elle fe trou
vera, feront perpendiculaires au même.
plan.

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I la ligne AB eft perpendiculaire au plan ED: tous les plans dans lefquels Fig. 26 elle fe trouvera, feront perpendiculaires au plan ED. Que AB foit dans le plan AE, qui ait pour commune fection avec le plan ED, la ligne BE à laquelle on tire la perpendiculaire FL,

PI' 2.

27.

Démonftration.

Les angles ABI,BIF font droits : donc les lignes AB, FI font paralleles : & (par la 8.) FI fera perpendiculaire au plan ED. Ainfi le plan AE, fera perpendiculaire au plan ED ( par la défin.

USAGE.

5.)

La premiere Propofition de la Gnomoni que, & qui peut paffer pour fondamentale, eft établie für cette Propofition: de laquelle on fe fert auffi fort fouvent dans la Trigonometrie Spherique, dans la Perspective, & géneralement dans tous les Traitez qui font obligés de confiderer plufieurs plans.

PROPOSITION XIX.

THEOREME.

Si deux plans qui fe coupent font perpendiculaires à un autre, leur commune fection lui fera auffi perpendiculaire.

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I les plans AB, ED qui fe coupent font perpendiculaires au plan IK leur commune fection EF eft perpendi culaire au plan IK.

Demonftration.

Si EF n'eft pas perpendiculaire au plan IK; qu'on tire dans le plan AB, la ligne

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