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Démonftration.

Les Triangles FBC, ABD ont les côtez, AB, BF: BD, BC égaux : & les angles FBC, ABD font égaux, puifque chacun, outre l'angle droit, contient l'angle ABC. Donc par la 4.) les Triangles ABD, FBC font égaux. Or le quarré AF, est double du Triangle FBC, (par la 41.) puifqu'ils ont la même base BF, & qu'ils font entre les paralleles BF, AC. Pareillement le rectangle BH eft double du Triangle ABD,puifqu'ils ont la même base BD, & qu'ils font entre les paralleles BD, AH. Donc le quarré AF, eft égal au rectangle BH. De même les Triangles ACE, GCB font égaux (par la 4.) le quarré AG eft double du Triangle BCG; & le rectangle CH eft double du Triangle ACE (par la 41.) Donc le quarré AG, eft égal au rectangle CH; & par confequent les quarrez AF, AG, font égaux au quarré BDEC.

USAGE.

Fig. 90. On dit que Pythagore ayant trouvé cette Propofition, facrifia cent bœufs, pour remercier les Mufts: ce ne fut pas fans raifon, puifque cette Propofition fert de fondement a une grande partie des Mathematiques. Car premierement, la Trigonometrie ne peut pas s'en passer, puifqu'elle lui est néceffaire pour faire la table de toutes les lignes

qu'on

qu'on peut inferire dans un Cercle, c'est-adire, des Cordes, des Sinus, des Tangentes, &des Secantes, ce que je fais voir dans un exemple.

Qu'on fuppofe que le demi - diametre AC, eft divife en 100000. parties, & que l'arc BC eft de 30. degrez. Puifque le Sinus d'un arc eft la moitié de la corde ou Fig. 90. fous-tendante du double d'un pareil arc; la corde de 60. degrez étant égale au demidiametre AC; BD, qui eft le Sinus de 30. degrez, fera égal à la moitié de AC il fera donc de soooo. Dans le Triangle ADB, le quarré de AB, eft égal aux quarrez de BD & AD. Faites donc le quarré AB,multipliant 100000 par 100000.& du produit, ôtez le quarré de BD 50000. reftera le quarré de AD, ou BF Sinus du complement de 30. degrez;& tirant la racine quarrée, on aura la ligne FB. Puis faifant comme AD eft à DB: ainfi AC est à CE; on aura la Tangente CE de 30: degrez: & ajoutant les quarrez de AC, CE, on aura (par la 47.) le quarré de AE: puis tirant la racine quarrée, on connoîtrą la longueur de la ligne AE Secante de 30. degrez.

Par le moyen de cette Propofition nous Fig. 91. augmentons les fgures autant que nous voulons : Par exemple, pour doubler le

G

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quarré ABCD, continuez le côté CD, de forte que CD, DE, foient égales ; tirez AE, le quarré de AE fera double du quarré ABCD, puifqu'il eft égal (par la 47.) aux quarrez de AD, DE. Faifant l'angle droit AEF,& prenant EF égal à AB, le quarré de AF, fera triple de ABCD. Faifant encore l'angle AFG droit, & FG égale à AB, le quarré de AG fera quadruple du quarré BD; ce que je dis du quarré fe doit entendre de toutes les figures femblables.

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