ABRÉVIATIONS BB, Bulletin de l'Académie royale de Belgique (Classe des Sciences). MB, Mémoires in-8° de l'Académie royale de Belgique. NA, Nouvelles Annales de Mathématiques (depuis 1842). NC, Nouvelle Correspondance mathématique (de 1874 à 1880). JV, Journal de Mathématiques élémentaires par VUIBERT. IM, Intermédiaire des Mathématiciens, fondé en 1894 par MM. LAISANT et LEMOINE. AF, Association française pour l'avancement des sciences. EM, Enseignement mathématique, revue internationale fondée par MM. A. LAISANT et H. FEHR. ET, Educational Times (Londres). M, Mathesis (de MANSION, NEUBERG et MINEUR). SL, Mémoires de la Société royale des Sciences de Liége. SB, Annales de la Société scientifique de Bruxelles. WO, Wiskundige Opgaven, nieuwe reeks (Amsterdam). WT, Wiskundig Tijdschrift (Rotterdam). ZHI, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, fondé en 1869 par HOFFMANN, continué depuis 1901 par SCHOTTEN et depuis 1914, par SCHOTTEN, LIETZMANN et GRIMSEHL. Crelle, Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par CRELLE en 1826, continué successivement par BORCHARDT, par KRONECKER et WEIERSTRASS, etc. (en allemand surtout). AMP, Archiv der Mathematik und Physik, 3° série. Liouville, Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par LIOUVILLE en 1836, continué d'abord par RESAL, puis par JORDAN. Un renvoi bibliographique indique le millésime (en chiffres arabes) ou la tomaison (en chiffres romains) d'un recueil, séparé par un trait horizontal de l'indication de la page. RR3 FEB 16 1925 MATHESIS RECUEIL MATHEMATIQUE A L'USAGE DES ÉCOLES SPÉCIALES ET DES ÉTABLISSEMENTS D'INSTRUCTION MOYENNE P. MANSION ET J. NEUBERG J. NEUBERG Professeur émérite de l'Université de Liége AVEC LA COLLABORATION DE PLUSIEURS PROFESSEURS BELGES ET ÉTRANGERS TOME XXXIX ANNÉE 1925 BRUXELLES STEVENS FRERES IMPRIMEURS-ÉDITEURS 9, Rue des Fortifications, 9 Gen. - 5 FIGURES COPLANAIRES SEMBLABLES, par M. J. NEUBERG. Les présents développements, dont la matière n'est pas entièrement nouvelle ('), nous ont été suggérés par la question 2153 (M, 1923-192) que nous avions déjà soulevée et en partie résolue dans l'article Sur la similitude des cercles (M, 1902-85). == 1. Soient AB "; A'B' a' deux droites qui se coupent en O. Métant un point quelconque du plan AOA'; construisons sur A'B' le triangle A'B'M' semblable au triangle ABM, mais tel que les sens de circulation des deux triangles soient les mêmes. Nous dirons que les points A et A', B et B', M et M' se correspondent dans deux figures directement semblables, q'. Les droites AM, A'M', également inclinées dans le même sens sur les droites AO, A'O, se coupent sur la circonférence AA'O; pareillement les droites BM, B'M' concourent sur la circonférence BB'O. Ces deux circonférences se recoupent en un point S tel que les triangles ABS, A'B'S sont directement semblables. Le point S, qui est son propre homologue, est appelé centre de similitude, point double ou pôle double des figures, '. Soient MM', NN', PP' des couples de points correspondants. Des relations on conclut que les triangles MAN, M'A'N' sont semblables et que MN: M'N'x'; ensuite que les triangles MNP, M'N'P' sont semblables. (1) Pour les figures directement semblables on peut comparer Traité de Géométrie par ROUCHÉ et DE COMBEROUSSE, 7e édition, t. I., p. 247 ; les figures symétriquement semblables se rencontrent dans Elemente der Mathematik von BALTZER, Théorie et Applications des équipollences par LAISANT, A Treatise of Analytical Geometry by CASEY (p. 285), etc. Il est facile de voir que S est aussi le point double de deux figures directement semblables dont A et B, A' et B' sont des points homologues, le rapport de similitude étant AA': BB'. Ce point appartient aussi aux circonférences A BO' et A'B'O', O' désignant le point de rencontre des droites AA', BB'. On retrouve ainsi un théorème bien connu et que S est le foyer de la parabole qui touche les quatre droites AB, BB', B'A', A'A. 2. On peut trouver d'autres circonférences passant par S. En effet, par conséquent, si l'on divise les droites AA', BB' aux points A" et A'', B' et B'' harmoniquement dans le rapport a: a', S appartient aux circonférences (A"A") et (B"B""). Celles-ci se coupent en un second point S' dont le rôle sera expliqué plus loin. Par analogie, si les points K et K', L et L' divisent les droites AB, A'B' harmoniquement dans le rapport AA': BB', les circonférences (KK') et (LL') passant également par S. 3. Considérons maintenant des couples de triangles semblables ABM, A'B'M, tels que les sens de circulation ABM, A'B'M, soient contraires. Nous dirons que A et A', B et B', M et M, sont des points homologues de deux figures symétriquement semblables 4,41. Les droites AM, A'M, étant également inclinées en des sens contraires sur les droites AO, A'O, leur point d'intersection appar |