La théorie des Forces décomposées, eft l'une des parties les plus effentielles de la Phyfique. Sans cette théorie, il est impoffible de rien entendre comme il faut, dans la Balistique, dans la Mécanique, dans l'Aftronomie, dans l'Art de la Navigation.

PARAGRAPHE

TROISIEME.

LE MOUVEMENT COMPOSÉ CURVILIGNE.

358, OBSERVATION. TOUT Mouvement compofé n'eft pas curviligne: puifqu'il y a un mouvement compofé en ligne droite, celui dont nous venons de donner la théorie,

Mais tout Mouvement curviligne est nécessairement compofé: puifque tout Mouvement tend naturellement à s'effectuer en ligne droite (308); & qu'il ne peut s'effectuer en ligne courbe, que par l'influence de deux Causes conjointes & fimultanées, telles que ab & ac, dont l'une le porte à chaque instant à la ligne droite, & l'autre l'écarte à chaque inftant de la même ligne droite. (Fig. 29 & 28)..

Parmi les deux Forces qui meuvent un Mobile en ligne courbe, l'une tend fans ceffe à éloigner le Mobile du centre C ou F de fon mouvement; l'autre tend fans ceffe à attirer le Mobile vers le centre de fon mouvement. C'est la combinaison de ces deux Forçes motrices, qui détermine la pature de la Courbe décrit le Mobile,

que

359. DÉFINITION I. On nomme centre du Mouvement, le point commun vers lequel une Force tend à précipiter le Mobile, & loin duquel l'autre Force tend à emporter le même Mobile. (Fig. 29 & 28).

Dans le Mouvement circulaire, le centre du mouyement, eft le centre même du Cercle,

Dans le Mouvement elliptique, le centre du mouvement, eft un des Foyers F de l'Ellipfe; efpece de Cercle dont le centre C s'eft indéfiniment écarté en F & en G, alongeant un côté & applatiffant l'autre côté de la Courbe.

360. DÉFINITION II. Il y a trois Forces à confidérer dans le Mouvement curviligne; une Force centripete, une Force projectile, une Force centrifuge. (Fig. 29). 1o. On nomme Force centripete, la force qui tend à rapprocher le Mobile du centre du mouvement, La Force a c, qui tend à faire defcendre le Mobile par le rayon vers le centre C, eft là Force centripete de ce Mobilé,

la

. II°. On nomme Force projectile, ou Force tangentielle, la force qui tend à emporter le Mobile par tangente à fa Courbe.

La Force a boudou nm, eft la Force projec tile de ce Mobile,

III°. Le Mobile ne peut s'enfuir par la tangente à få Courbe, fans s'éloigner du centre de fon mouvement. La Force projectile lui donne donc néceffairement une Force centrifuge, ou une force en vertu de laquelle il tend fans ceffe à s'éloigner du centre C de fon mouvement,

Cette Force centrifuge, née de la Force projectile, eft toujours moindre que la force projectile: puifque bd, qui exprime la force centrifuge, eft néceffairement moindre que a b, qui exprime la force projectile.

IV. La Force centrifuge eft toujours égale à la Force centripete, dans un Cercle. Par exemple, b d = a c,

Il n'en eft pas de même dans l'Ellipfe, où ces deux Forces fouffrent des changemens continuels; l'une fe trouvant tour à tour, tantôt auffi grande, tantôt plus grande, tantôt moins grande que l'autre ; comme nous l'expliquerons ailleurs. (Fig. 28),

PREMIERE PROPOSITION FONDAMENTALE.

361. Un Mobile qui fe meut en ligne circulaire, décrit fucceffivement une infinité de petites Diagonales, occafion= nées par l'action toujours uniforme d'une Force projectile & d'une Force centripete qui le meuvent. (Fig. 29).

DÉMONSTRATION. Io. Un Mobile qui se meut en ligne circulaire, obéit néceffairement à plus d'une Force motrice; puifque, s'il n'obéiffoit qu'à une feule force, il fe mouvroit en ligne droite, & non en ligne courbe, (308).

Par exemple, fi le Mobile a n'obéiffoit qu'à la force ab: il fe mouvroit perfévéramment dans la direction ab, par la tangente.

Si le même Mobile n'obéiffoit qu'à la force ac : il se mouvroit persévéramment dans la direction a c, par le rayon.

Ces deux Forces combinées font néceffaires & font fuffifantes pour produire le Mouvement circulaire du Mobile: comme nous allons le faire voir. Donc il n'y a ni plus, ni moins que ces deux Causes, dans le, mouvement circulaire du Mobile.

II°. Un Mobile qui fe meut en ligne circulaire, eft. toujours également éloigné du centre de fon mouvement: donc les deux Forces qui tendent conjointement, & à l'approcher & à l'éloigner du centre C de fon mouvement, reftent toujours dans le même rapport entre elles, fans aucune augmentation & fans aucune diminution.

Donc les directions de ces deux forces, font tou jours entre elles un Angle droit : puifque fi elles fai-, foient un angle obtus ou un angle aigu, elles ne conserveroient pas leur même rapport. (348 & 349).

III. Un Mobile qui fe meut en ligne circulaire doit donc être confidéré dans un point quelconque a de fa Courbe, comme livré à deux Forces motrices

a b & a c, dont les directions

dont les directions par la tangente & par rayon, font toujours un angle droit au centre du Mobile.

le

Donc, par la théorie du Mouvement composé rectiligne, le Mobile a, obéiffant à l'action des deux Forces confpirantes a b & a c, doit dans un tems infiniment petit, décrire la Diagonale a d d'un infiniment petit Parallelogramme rectangle, conftruit fur la direction & fur le rapport des deux forces confpirantes. Donc le Mobile, à la fin de ce tems très-petit, ne se trouvera ni en b, ni en c, mais en d.

IV. Le Mobile, arrivé en d, eft encore livré à deux forces motrices d x & de, refpectivement égales aux deux précédentes: il parcourra donc encore, dans un tems infiniment petit, la Diagnoale dn.

Dans les tems fuivans, le Mobile parcourra de même, & par le même mécanifme, les diagonales nm & mr, & ainfi de fuite, dans la circonférence entiere du Cercle,

Donc un Mobile livré à l'action toujours uniforme d'une Force projectile & d'une Force centripete, doit décrire, dans une infinité d'inftans infiniment petits une infinité de petites Diagonales, dont la fomme fera la Courbe circulaire. C. Q. F. D.

SECONDE PROPOSITION FONDAMENTALE,

2

362. Un Mobile qui fe meut en ligne elliptique, décrit une infinité de petites Diagonales, occafionnées par l'action alternativement croiffante & décroiffante d'une Force projectile & d'une Force centripete qui le meuvent conjointement. (Fig. 28).

EXPLICATION. Sans entrer ici dans aucun détail & fur la nature de l'Ellipfe & fur la cause physique du Mouvement elliptique; objets que nous traiterons avec foin dans la Géométrie & dans l'Aftronomie :

nous fuppoferons que la Figure 28 représente une Ellipfe ; & que le Corps mu dans cette Courbe,a toujours pour centre de mouvement, pendant toute fa révolution, le point F, qui eft l'un des deux Foyers de l'ellipfe. (Math. 749 & 757).

1°. Dans cette Courbe, ainfi que dans la précéden te, le Mobile obéit néceffairement à deux Forces confpirantes qui le follicitent conjointement à fe mouvoir, l'une par le rayon de la courbe, l'autre par la tangente à la courbe.

Le Mobile, par la théorie du Mouvement compofé rectiligne, doit donc, dans chaque tems infiniment petit, décrire les Diagonales de tout autant d'infiniment petits parallelogrammes conftruits fur la direction & fur le rapport des deux forces qui le meuvent. Le Mobile, dans une infinité d'inftans infiniment petits, parcourra donc une infinité de petites Diagonales ad, dn, nr, rs, st, ¿ v ; v x, xy, y ?, zi, ik, ko,og, ga, dont la fomme fera la Courbe elliptique.

T

II. Si les angles que font au centre du Mobile, la direction de la force projectile & la direction de la force centripete, étoient toujours des angles droits, comme dans le Cercle; le Mobile ne s'approcheroit & ne s'éloigneroit jamais du centre F de fon mouvement parce que ces deux Forces n'étant jamais ni plus. ni moins confpirantes dans leurs directions à angles droits, elles conferveroient toujours chacune leur même quantité précise d'action, fans aucune augmentation & fans aucune diminution (348). Elles imprimeroient donc fans ceffe au Mobile, la même quantité de mouvement centripete & de mouvement centrifuge; & ces deux mouvemens, perfévéramment égaux & oppofés, retiendroient toujours le Mobile à la même diftance du centre F de fa révolution.

Mais, fi les directions des deux forces qui meu