l'on mene MQ parallele à BC, & qu'on nomme CD, b; en laissant aux autres lignes les noms qu'on leur a donnez en la Propofition précedente. Je dis que l'expression Algebrique de la foutangente QH, fera bb-yy y DEMONSTRATION. PQ étant le parallelogramme des coordonnées CQ= PM fera, y; & MQ=CP, x. Et les triangles sembla bles PTM, MQH donneront TP (**). PM, (y) valeur de xx dans celle de QH, l'on aura après la rédu 12. SI C. Q. F. D. COROLLAIRE. I l'on ajouté y = CQà QH = bby, l'on aura y CH=-, d'où l'on tire CQ (y). CD (6) :: CD (6). bb y FIG. 63. 13. SOIT une Ellipse ADBE, dont AB & DE font les axes conjuguez; C, le centre; MT, une tangente qui rencontre les axes conjuguez en H & en T. Je dis que la ligne GOL parallele à la tangente MT fera divisée en deux également en O par la ligne MCV menée du point touchant M par le centre C. Ayant mené par les points L, M, O, G, les lignes LK, MP, OQ, GX perpendiculaires à l'axe AB, & par O la ligne RON parallele à AB qui rencontrera KL en N, & XG en R, & nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; & les indéterminées CP, x; PM,y; cl m; QX, ou OR, z; QK, ou GN, S; AX sera a + m -2; BX, a-m+z; AK, a+m+S; &KB, a-m Il faut prouver que GO = OL, ou ce qui est la même chofe, RO(x)=ON (S). : DEMONSTRATION. Les triangles semblables CPM, CQO donnent CP my (x). PM (y) :: CQ(m). Q0 ===RX=KN: l'on aa bb a aussi (n°. 8.) CT = -, & (no. 12.) CH = -, & les triangles semblables TCH, ORG, ONL, donnent aa bb bbzx aa TC()CH()::OR (2). RGb, &TC ("). aay my aay bbzx, & KL = b. Mais (art. 12. no. 5.) aa (CB). bb6 aay (CD) :: aa - mm + 2mz-zz (AX x XB).mmyy abbmz aa + (XG), & aa (CB'). bb (CD') :: aa mm-2mf-f(AKxKB), my_bbmf+b* (KL) d'où l'on trouve ces deux équations. aa bfxx & ayant ôté la seconde de la premiere, le premier membre du premier, & le second du second, l'on aura celle-ci, 2bbmz+2bbmf+ b+zzxx b*ffxx aayy =2bbmz+26bmf-bbzz +bbff, d'où l'on tire zz = ff; car après avoir effacé de l'équation D les termes qui se détruisent, il restera b+ffxx aayy b+zzxx aayy - bbzz +66/J. On divisera ce reste par bb, & l'on multipliera le quotient par aayy, il viendra bbzzxx bbffxx= aayyzz+aaffyy. On égalera le tout à o, ce qui donnera bbzzxx - bbffxx + aayyzz + aassyy = 0. On divisera cette équation par bbxx+aayy, & l'on aura au quotient zz-ff=0, ou bien zz=f, ou z=∫, OR = ON; donc GO=OL. C. Q. F. D. La position de la ligne GL peut changer en bien des manieres à mesure que le point O s'approche ou s'éloigne du centre C., ou se trouve au-delà par raport à M: mais cela ne peut au plus que changer les signes dans les expressions des lignes AX, XB, AK, KB, XG & KL, & l'on trouvera toujours z=/; c'est pourquoi la Proposition est généralement vraye. COROLLAIRE I, 14. IL est clair que la ligne FCS menée par le centre C, parallele à la tangente MT est divisée en deux éga lement par le centre C: car le point O tombant en C, GL devient FS, & comme le point M peut être pris indifferemment sur tous les points de l'Ellipse; il s'enfuit que toutes les lignes comme FCS, sont coupées par le milieu en C; puisqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui passe aussi par le centre C. DEFINITIONS. 15. LEs lignes MCV, FCS qui passent par le centre d'une Ellipse sont nommées diametres, & lorsque deux diametres MCV, FCS font posez de maniere que l'un des deux FCS est parallele à la tangente MT menée par l'extrêmité M de l'autre MCV; ils font nommez diametres conjuguez; & les lignes OG, OL font nommées ordonnées, ou appliquées au diametre MV. 16. IL est évident que les ordonnées à un diametre quel conque sont divisées en deux également par le même diametre. COROLLAIRE III. 2017 17. IL est clair que la position des diametres conjuguez est déterminée par la position de la tangente menée par l'une de leurs extrêmitez. COROLLAIRE IV. 18. SI l'on ajoute les deux équations A & B de la proposition précédente, après avoir mis zen la place de s, le premier membre au premier & le fecond au second, 7 2bbmm 1 , - 2bbzz, ou, en supposant que le point O tombe en C auquel cas QK = z devient CI, GL devient FS, KL, devient SI, & CQ=m devient nulle ou de qui bbzzxx détruit les termes où m se rencontre, = 44 — ༢༢ ; d'où l'on tire zz=aa - xx, en mettant pour aayy la va leur aabb bbxx tirée de aa - XX = aayy bb l'équation trouvée par la premiere Propofition; d'où l'on conclud que CI`= AP × PB: & que CP2= AI × IB : car l'on a auffi FIG. 63. 19. xx = aa : xxaa Si l'on fait dans cette équation (CI)=x(CP); les points. P & I se confondront en un FIG. 64. seul point r, & les deux diametres conjuguez MV,FS feront égaux, & l'on aura 2xx = aa; donc x = √- aa qui servira à déterminer leur position en cette forte. Soit prise Cr moyenne proportionnelle entre CB & sa moitié, & menée par y la perpendiculaire MYS qui rencontrera l'Ellipfe aux points M & S, par où l'on menera les diametres conjuguez MV, FS qui feront égaux. FIG. 64.20, COROLLAIRE VI. X : IL eft clair que A Y × Y B=CY :.car l'équation (no. 18.) xx = aa - zz subsiste toujours, quoique x=2 ou CP=CI=CY. COROLLAIRE VI I. 1 21. A. Cause de Ar x YB =CY2= (no. 19.) aa, l'on a (Art. 12. no. 5.) aa (CY2). yy (PM2) :: aa (CB2). bb (CD2); car (Art. 12. no. 5.) on a aa fubftituant aa dans le premier terme aa - xx de l'ana- ( |