l'on mene MQ parallele à BC, & qu'on nomme CD, b; en laiffant aux autres lignes les noms qu'on leur a donnez en la Propofition précedente. Je dis que l'expression Algebrique de la DEMONSTRATION. PQ_étant le parallelogramme des coordonnées CQ= P M fera, y; & MQ = CP, x. Et les triangles sembla aa xx bles PTM, MQH donneront TP ( ). PM, (y) : mais (Prop. 1.) aa — xx :: MQ(x). QH= valeur de xx dans celle de QH, l'on aura après la rédu bb-vy , l'on aura bb сн CD(6): 12.SI l'on ajouté y = CQ à QH CH= d'où l'on tire CQ (y). CD (b) :: CD (b). y bb CH(+). PROPOSITION X. Theorême. FIG. 63. 13. SOIT une Ellipfe ADBE, dont AB & DE font les axes conjuguez; C, le centre; MT, une tangente qui rencontre les axes conjuguez en H & en T. Je dis que la ligne GOL parallele à la tangente MT fera divifée en deux également en ○ par la ligne MCV menée du point touchant M par le centre C. Ayant mené par les points Z, M, O, G, les lignes LK, MP, 0Q, GX perpendiculaires à l'axe AB, & par O la ligne RON parallele à AB qui rencontrera KÌ en N, & XG en R, & nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; & les indéterminées CP, x; PM, y; CQ, m; QX, ou OR, L; QK, ou GN, S; AX fera a +m — Z; BX, a —m+z; AK, a +m+f; & KB, a —m -f. Il faut prouver que GO= OL, ou ce qui est la même chofe, RÔ (x)=ON (S). DE'MONSTRATION. LEs triangles semblables CPM, CQO donnent CP my (x). PM (y) :: CQ(m). Q0 =RX=KN: l'on aa a auffi (no. 8.) CT= & (no. 12.) CH= les triangles semblables TCH, ORG, ONL, donnent bb TC (#).CH (+)::OR (K). RG=bbz, &T C bbzx & KL aay my bbfx aay bbfx aay aay (-) my ; donc XG = ++ Mais (art. 12. n°. 5.) aa (CB'). bb (CD3) :: aa— mm + 2mz — 23 (AX × XB). mmyy abbmz b*zzxx atyy ++ + ( KĽ′ ) a*yy & ayant ôté la feconde de la premiere, le premier membre du premier, & le second du second, l'on aura celle-ci, l'équation D les termes qui fe détruisent, il restera b4zzxx aayy bbzz +bb. On divisera ce reste par bb, = 0. & l'on multipliera le quotient par aayy, il viendra bbzzxx bbfsxx = — aayyzz+aaffyy. On égalera le tout à o, ce qui donnera bbzxzxx — bbfxx + aayyzz + aassyy On divifera cette équation par bbxx+aayy, & l'on aura au quotient z-ss=o, ou bien zz=f, ou z=s, OR ON; donc GO=OL. C. Q. F.D. La pofition de la ligne GZ peut changer en bien des manieres à mesure que le point O s'approche ou s'éloigne du centre C., ou fe trouve au-delà par raport à M: mais cela ne peut au plus que changer les fignes dans les expreffions des lignes AX, XB, AK, KB, XG & KL, & l'on trouvera toujours z=/; c'eft pourquoi la Propofition eft généralement vraye. COROLLAIRE I, 14. IL eft clair que la ligne FCS menée par le centre C, parallele à la tangente MT est divifée en deux éga lement par le centre C: car le point O tombant en C GL devient FS, & comme le point M peut être pris indifferemment fur tous les points de l'Ellipfe, il s'enfuit que toutes les lignes comme FCS, font coupées par le milieu en C, puifqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui paffe auffi par le centre C. DEFINITIONS. 15. LES lignes MCV, FCS qui paffent par le centre d'une Ellipfe font nommées diametres, & lorfque deux diametres MCV, FCS font pofez de maniere que l'un des deux FCS eft parallele à la tangente MT menée par l'extrêmité M de l'autre MCV; ils font nommez diametres conjuguez; & les lignes OG, OL font nommées ordonnées, ou appliquées au diametre MV. COROLLAIRE II. 16. IL est évident que les ordonnées à un diametre quel conque font divifées en deux également par le même diametre. 17. COROLLAIRE III. IL eft clair que la pofition des diametres conjuguez eft déterminée par la position de la tangente menée par l'une de leurs extrêmitez. COROLLAIRE IV. 18. SI l'on ajoute les deux équations A & B de la propofition précédente, après avoir mis en la place de f le premier membre au premier & le fecond au fecond, l'on aura celle-ci 2aammyy 2b*zzxx aayy =2aabb 2bbmm , —— 2bbzz, ou, en supposant que le point O tombe en C auquel cas QK ༢ devient CI, GL devient F S ̧ K L ; devient SI, & CQm devient nulle ouo, ce qui .511 aayy La va d'où l'on tire zz=aa-xx, en mettant pour aayy leur aabb bbxx tirée de l'équation aa-xx = aayy bb trouvée par la premiere Propofition; d'où l'on conclud que CI' — AP × PB: & que CP2 — AI × IB : car l'on a auffi xx=aa — ༢༢: FIG. 63. 19. = = COROLLAIRE V. ༢༢.༢ Si l'on fait dans cette équation xx = aa - ZZ, Z (CI)=x (CP); les points. P & I fe confondront en un FIG. 64. feul point r, & les deux diametres conjuguez MV, FS feront égaux, & l'on aura 2xx aa; donc x = qui fervira à déterminer leur pofition en cette forte. Soit prife Cr moyenne proportionnelle entre CB & fa moitié, & menée par la perpendiculaire MYS qui rencontrera l'Ellipfe aux points M & S, par où l'on menera les diametres conjuguez MV, FS qui feront égaux. FIG. 64. 20, IL eft clair que AY x Y B⇒Cr' : car l'équation (n°. 18.) xx= xx = aa — zz fubfifte toujours, quoiqué x=z ou CPCI-CY. COROLLAIRE VII. 21. A. Caufe de Arx YB = Cr2= (no. 19. ) 1⁄2 aa ̧l'on a ( Art, 12, no, 5.) — aa ( Cr2 ). yy ( P M2 ) :: aa (CB1 ). bb (CD2), car (Art. 12. n°. 5.) on a aa-xx.yy :: aa. bb. Mais (no. 19.) x = √÷aa. Donc xx = |