(n°. 19.) le point fur CA, & la perpendiculaire FQM déterminera auffi la pofition des deux diametres conjuguez égaux MCV, FCS. 22. COROLLAIRE VIII. :: PUISQUE (Art. 12. n°. 5.) AP × PB, ou (no. 18.) CI. FIG. 63. PM::CB.CD, & AIxIB ou (n®. 13. ) CP . Is CB'. CD', l'on a CI2. PM2 :: CP2. IS2, ou CI. PM:: CP.IS, d'où il fuit que les triangles CPM, CIS font égaux. PROPOSITION XI. Theorême. 23. AYANT fuppofé les mêmes chofes que dans la Pro- F 1 c. 63i pofition précédente. Je dis que le rectangle VO x O M des parties du diametre MV faites par l'appliquée OL eft à OL', quarré de la même appliquée; comme V M2, quarré du diametre VM, eft à FS', quarré du diametre conjugué à VM. Ayant nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; CP, PM, y ; OR, ou ON, z; CQ,m; CV ou CM, d; FC, ou CS, f; CO, u ; & O L ou OG, f Il faut prouver que dd- uu. .:: dd. ff:: 4dd. 4ff. DE'MONSTRATION. L'ON a (art. 12.) A. aa - xx aayy les triangles femblables MCP, OCQ, donnent d (CM). x (CP)::u (CO). m (CQ); donc B. dmux, & les triangles femblables SCI, LON, & CI' = (no. 18.) aa-xx, donnent ff (CS'). aa — xx ( CI ) : : ss (LO* ). zz, ( 0 Ñ3); donc C. ffzz = aaff - xxss. En reprenant préfentement l'équation du quatriême Corollaire de la Propofition précédente no. 18, qui étant divifée par 2, devient, tant dans le numerateur du premier terme, & dans le dénominateur du second pour aayy, fa valeur aabb bbxx tirée de l'équation A, l'on aura aamm + -, & mettant encore pour mm fa valeur l'équation B, & pour zz, fa valeur аа -XX dd aa quation C, l'on aura après les réductions & tranfpofitions, 24. SI MV & FS font les deux diametres conjuguez égaux, d fera f; & l'équation deviendra dd ― uu qui feroit une équation au cercle, fi l'appliquée O L faifoit un angle droit avec C M. 25. DEFINITION. SI l'on fait d.f:: 2f. p, la ligne p fera appellée le parametre du diametre M. COROLLAIRE II. 26. LA proportion d. f :: 2f. p donne dp = 2ff; donc en multipliant par d, l'on a ddp=2dff; donc 24 = dd c'eft pourquoi fi l'on met dans l'équation précédente -ul = 24 d'où l'on dd tire dd―uu. :: 2d. p. pour de fa valeur 2d, l'on aura dd 2d55 COROLLAIRE On ajoutera ici les mêmes chofes que l'on a dites art. 12, no. 9, 10, 11, 12, 13, 12, 13, & 14. PROPOSITION XII. Theorême. 28. LES mêmes chofes étant encore fuppofées, filon mene Gq parallele à MV. Je dis que Fq x qS. q G':: FS'. VM'. En nommant encore CM, ou CV, d; CS, ou CF f; CO, ou qG, u; OG, ou Cq, f; Fq sera ƒ —s; & q S, f+f. Il faut prouver que ƒƒ —ss. uu :: 4ff. 4dd. DEMONSTRATION. EN reprenant l'équation de la Propofition précédente dd- un ddg นน la multipliant par ff, transposant & divi ffuu fant par dd, l'on en tirera ƒƒ—s= qui donnera f dd COROLLAIRE I. 30. LA Proportion précédente donne pf = 2dd; donc ff précedente pour fa valeur, l'on aura ff➡ ss= dd qui donne ff-f. uu :: m. n. On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12. n°. 9,10, 11, 12, 13 & 14. COROLLA IRE III. 32. Il est clair ( no. 25. & 29.) que le rectangle de l'un des diametres conjuguez par fon parametre est égal au quarré de l'autre diametre. PROPOSITION XIII. Problême. 33. DEUX lignes quelconques FS & MV qui fe coupent par le milieu en Cà angles obliques étant données de pofition & de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Ellipfe, déterminer la pofition & la grandeur des axes de la même Ellipfe. Cette Propofition contient deux cas qu'on pourroit néanmoins réduire à un feul, comme on va voir dans le fecond: le premier eft lorfque les lignes FS & MV font égales: le fecond lorfqu'elles font inégales. AYAN 34. ANT joint les points M, S & M, F, & ayant FIG. 65. divifé MS & MF par le milieu en P&Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui fe couperont à angles droits en C, puifque CS, CM, CF font égales, & que les points P&Q divifent par le milieu MS & MF. Soit enfuite fait PI CP & QH=CQ, & du centre C par I, & par H décrit deux cercles qui couperont CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipfe dont AB & DE font les axes, passera par les points M, F, V & S. DEMONSTRATION. AYANT nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE ̧b; CP, ou PI, x; PM, ou CO, ou OH,y; l'on a par la propriété du cercle, & par la Conftruction, aa—xx (AP × PB) = xx (PI, où CP'), & bb — yy ( E Q × Q D ) =yy (QH2, ou CQ), d'où l'on tire x = Vaa, & y =V bb; c'eft pourquoi (no. 19. & 21.) les points S, M, V&F, font à ÎEllipfe dont les axes font AB, & DE. C. Q. F. D. SECOND CAS. 35. SOIT prolongée CM du côté de M, & foit faite F16.66. MK prife fur le prolongement, égale à la troifiéme proportionnelle à CM & CS; & ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK, on élévera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un point G; puifque (no. 13.) MT eft tangente à l'Ellipfe dont MV & F S font deux diametres conjuguez; & que (no. 10.) l'angle CMT eft obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui paffera par K, & coupera MG aux points 7 & H par où, & par C, l'on menera TC, & HC indéfiniment prolongées au-delà de C par raport à T & à H: l'on menera enfuite MP & MQ paralleles à |