Mais il faut remarquer qu'il se rencontre souvent dans une équation des termes complexes, ou composez de plusieurs quantitez Algebriques, jointes ensemble par + ou par-, qui sont ceux où l'inconnue se trouve élevée à la même puissance, ou bien ceux où elle ne se trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx - bxx + cxx, ou abb-bcc+d', ne doivent être regardées que comme un seul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équation seul dans le premier membre, & tous les autres dans le second, felon leur ordre, ou bien on les égale tous à zero, en les écrivant tous dans le premier membre de l'équation, selon leur ordre ; & en écrivant o seul dans le deuxième, en observant que le premier soit toujours simple, & délivré de toute quantité connue, comme on voit dans l'équation suivante.

III. Les équations où il se rencontre deux lettres inconnues, qu'on appelle aussi équations locales, fervent à construire les Problêmes indéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une, servent à construire les Problêmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues, en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre, c'est pour cela qu'on est obligé d'assigner à l'une des deux, une valeur arbitraire ; & la regardant ensuite comme donnée, on pourra connoître la valeur de l'autre,

Et comme on peut assigner à la même inconnue une infinité de valeurs l'une après l'autre, l'autre inconnue en pourra aussi avoir une infinité. Mais en donnant ainsi differentes valeurs à une des inconnues d'une équation,

on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée; & par consequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l'Article précedent des équations déterminées. En effet, réfoudre, ou plutôt construire un Problême indéterminé, c'est construire une infinité de fois un Problême déterminé.

REMARQUE.

1. LEs valeurs arbitraires que l'on assigne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent souvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et fi elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, feront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x=b-y, toutes les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée b, autrement celles de * seroient negatives; ce qui est évident. Si l'on fait y=0, l'on aura x=b; & fi l'on fait y=b, l'on aura x = 0; car l'équation deviendra x=b-b=0. Dans cette équation xx = ал — yy, les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y, ne doivent point exceder la grandeur donnée a: car autrement les valeurs de x seroient imaginaires, puisque tout le second membre de l'équation feroit negatif. Si l'on fait y= a, l'on aura xx = aa & si l'on faifoit y =0, l'on auroit xx=aa; donc x=+a. Mais dans cette équation ax = by, on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y: car x aura toujours une valeur positive, à moins que l'on ne fasse y=0, quel cas l'on aura ax=0, ou x ==0.

2.

A

THEOREME

-aa=0,

au

▼

SI l'on assigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, où elles ne font multipliées ni par elles - mèmes, ni entr'elles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valcurs correspondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite.

DEMONSTRATION.

SOIT l'équation ay=bx, en la réduisant en Analogie l'on a a. b:: x. y; soit presentement une ligne droite AH, dont le point A foit fixe; & ayant pris sur AH l'inter

FIG. 3. vale AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B, la ligne BC égale à la ligne donnée 6, qui fasse avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AG indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris sur AH un point quelconque D, mené DE parallele à BC; & nomme AD, x; & DE, y; l'on aura toujours a. b :: v. y, en quelque endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui est la même chose, quelque grandeur arbitraire que l'on affigne à l'inconnue x, celle de y sera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que la ligne AG est le lieu qui renferme tous les points qui satisferont au Problême, qui doit être refolu par l'équation proposée ay=bx. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

3. SI l'équation proposée étoit déterminée, comme ay = bc, ce feroit toujours la même chose, excepté que la lettre a qui tient la place de x, est constante, ainsi ayant FIG. 3. pris fur AH, AD=c, & mené DE parallele à BC; DE fera la valeur de y; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, il n'y a que le seul point E qui résout le Problême, puisque AD=c ne peut avoir differentes valeurs.

COROLLAIRE II.

4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, sont de même genre; puisqu'elles se construisent par les mêmes lignes, & de la même maniere.

COROLLAIRE. III.

5. SI dans l'équation précedente ay = bx, a étoit égale à b, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC=AB; & assignant à x la valeur arbitraire AD; FIG. 3. DE (y) parallele à BC, seroit égale à AD =x.

COROLLAIRE IV.

6. IL est évident que dans toutes les équations indéter. minées du premier degré, les inconnues ont entre elles un raport constant, c'est-à-dire, qu'elles sont l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raison d'égalité: comme dans l'équation précedente ay=bx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y = x, ou x. y :: I. I.

COROLLAIR AIRE V.

7. On voit aussi que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croiffant ou diminuant, l'autre croît aussi ou diminue; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entre elles le même raport.

A

THEOREME. :

1

8.SI. dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & où par consequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, de quelque maniere que ce puisse ètre, l'on assigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correfpondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe.

DEMONSTRAΤΙΟ Ν.

Dans les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (n°. 6.) entre elles un raport constant. Or lorsque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, ou

1

de l'une & de l'autre maniere tout ensemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même raport dans toutes les variations ou changemens de valeur qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux seules, ou accompagnées seulement de lettres connues. Mais par l'hypothese, ces deux lettres font multipliées ou par ellesmêmes ou entre elles; donc elles ne peuvent garder un raport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut assigner: c'est pourquoi, en assignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe. C. Q. F. D.

C'est ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui suit.

EXEMPLE.

9. SOIT OIT l'équation yy = aa - xx, qui est du second degré; Il est clair, 1°. Que x croissant, y diminue: car le fecond membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2°. On ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpasse la ligne exprimée par a: car le second membre deviendroit negatif; & la valeur de y feroit par consequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x = a, l'équation deviendra yy =aa-aa=0. Il est donc évident que cette équation ne se rapporte point à la ligne droite; puisque ses qualitez font toutes differentes de celles des équations du premier degré ; & partant qu'elle se rapporte à une ligne courbe.

Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen F16. 4. de fon équation yy = aa - xx. Soit une ligne droite CH, donnée de pofition dont l'extrêmiré C soit fixe, & dont les parties CP foient nommées x ; soit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties CQ foient nommées,