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mées, y; foit auffi une ligne donnée KL nommée, a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; QM fera =CP=x, & PM=CQ=y.

Si l'on affigne préfentement tant de valeurs différentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correfpondantes de y (PM). De forte que tous les points M feront à la courbe laquelle fe rapporte l'équation propofée yy=aa-xx. Suppofons premierement xo; le point P tombera en C, & le point M, fur la ligne CG; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la fuppofition de xo, l'on aura yy = aa, donc y = +a; c'eft pourquoi fi on prolonge CG du côté de C; & qu'on faffe Ce, & CE chacun E-KL-a; CE fera la valeur pofitive de y, & Ce fa valeur negative, & les points E & e, feront à la courbe dont il s'agit.

aura 0=aa⋅

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xx,

Suppofons en second lieu yo, le point Q fe confondra avec le point C, le point M tombera fur CH, & l'on ou xx = aa; donc x = + a ; c'est pourquoi, fi l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & CA chacune égale KL=a; CB fera la valeur pofitive de x, & CA fa valeur negative, & les points B&A, feront à la même courbe en question. D'où l'on voit déja que les quatre points A, E, B, e, font également diftans du point C.

Si l'on affigne à x une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on aura en extrayant la racine quarrée y=+ Vaa — xx d'où l'on tire cette conftruction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diametre l'intervalle KL=a, l'on décrira un cercle qui coupera PM en M & m; PM fera la valeur pofitive de y, & Pm fa valeur negative, & les points M, m feront à la courbe cherchée; car à caufe du triangle rectangle CPM; l'on a PM2 CM2 - CP2, c'est-à-dire en termes Algebriques yyaa-xx ; donc y=±√aa—xx.

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C

Or il eft évident que pour déterminer la valeur de y (PM) dans toutes les pofitions du point P, il faudra décrire un cercle du centre C, & du rayon KL; c'est pourquoi ce cercle eft lui-même la courbe cherchée, ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer: mais on a jugé à propos de faire fur l'équation au cercle, qui eft la plus fimple de toutes les courbes, les raifonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur moyen, moyen, d'en marquer les principales déterminations, & d'en découvrir les principales proprietez.

COROLLAIRE I

10. On voit clairement qu'au lieu d'avoir affigné à x, dans l'équation précedente, des valeurs CP prifes fur CH pour trouver tous les points M, m, ou pour déterminer les valeurs correfpondantes de y=PM, l'on auroit pû regarder x comme inconnue, & affigner à y des valeurs CQ prifes fur CG, qui auroient fervi à déterminer de la même maniere les valeurs correspondantes de x= QM= CP, en tirant de l'équation précedente, x=Vaayy. COROLLAIRE I I.

tion

11. IL eft clair que fi une des inconnues x de cette équayyaa-xx devenoit une conftante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée par le moyen du cercle; d'où il fuit en general que toutes les équations déterminées du fecond degré peuvent être conftruites par le moyen du cercle, & qu'elles font de même genre que les équations indéterminées du même second degré.

REMARQUES.

ON remarquera 1°. Que dans toutes les pofitions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG; & que dans toutes les pofitions du point Q la ligne QM doit toujours demeurer parallele à CH.

2°. Qu'il y a toujours deux points, l'un (P) fur CH, & l'autre (Q) fur CG, qui peuvent fervir également à déterminer un même point (M). 3°. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle fe peut appliquer à toutes les autres courbes, lorfqu'il s'agit de les décrire par le moyen de leurs équations.

DEFINITION S.

13.DANS toutes les courbes, les lignes droites (CH) dont au moins une des extrêmitez (C) eft fixe, & dont les parties (CP) font nommées par l'inconnue de l'équation à qui on donne des valeurs arbitraires (CP) pour déterminer la grandeur de la ligne (PM) exprimée par l'autre inconnue, font nommées axes ou diametres de ces courbes. 14. Les mêmes parties (CP) font nommées abciffes ou coupées.

15. Les lignes (PM) exprimées par l'inconnue de l'équation dont on cherche la valeur eu fuppofant l'autre inconnue comme donnée à chaque pofition du point P, & qui demeurent paralleles à elles-mêmes, pendant que le même point P change de place, font nommées appliquées, ou ordonnées à l'axe CH.

16. Parceque QM est égale & parallele à CP, & CQ à PM, & que le point pris fur CG peut fervir à trouver le point M auffi bien que le point P; on peut prendre CG pour l'axe ou le diametre de la courbe, CO pour l'abciffe, ou coupée; & QM, pour l'appliquée ou ordonnée; c'eft pourquoi on nommera CH, & CG, axes ou diametres conjuguez; CP & PM, ou CQ & QM ensemble coordonnées; le parallelogramme CPMQ formé par les coordonnées, le parallelogramme des coordonnées; & le point C, le commencement, ou l'origine des coordon.

nées.

17. Les équations indéterminées ne fervent pas feulement à construire les Problêmes indéterminez, ou à décrire les courbes aufquelles elles fe rapportent, & dont elles expriment la nature. On pourroit encore par leur

moyen conftruire tous les Problêmes déterminez: car il n'y a point de Problême déterminé, quelque fimple qu'il puiffe être, où pour le réfoudre, on ne puiffe employer deux lettres inconnues, & trouver par confequent deux équations indéterminées, qui étant conftruites ensemble, felon les regles qu'on donnera dans la fuite, les lignes droites ou courbes, aufquelles elles fe rapportent, détermineroient par leur interfection les points qui fatisferoient aux Problêmes, d'où l'on auroit tiré ces équations. On pourroit auffi tirer de ces fortes de constructions des démonstrations très-fimples, à la maniere des Anciens. Mais il arriveroit quelquefois que les Problêmes ne feroient pas. tous construits avec les lignes les plus fimples qu'ils le puiffent être, quoique d'ailleurs la conftruction en fût très-fimple. Or felon Mr Defcartes, & felon la raifon même, c'est un vice en Geometrie d'employer dans la construction d'un Problême des lignes plus compofées que celles qu'exige fa nature.

On trouvera dans l'art. 4. n°. 17, 18, 19, 20 & 21, des regles pour faire connoître quand un Problême détermi

né peut être construit par le moyen de deux équations indéterminées. En voici pour diftinguer les courbes les plus fimples d'avec les plus compofées.

18. C'est le degré d'une équation indéterminée qui fait connoître que la courbe dont elle exprime la nature est plus ou moins fimple. Et le degré d'une équation est déterminé par la plus haute puiffance de celle des deux inconnues, qui eft la plus élevée, lorsqu'elles ne le font pas également, ou par le produit des deux inconnues, quand il s'y rencontre, & qu'il a plus de dimenfions que les mêmes inconnues dans les autres termes. Ainfi lorfque dans une équation, l'une ou toutes les deux inconnues, foit qu'elles foient multipliées, ou par elles-mêmes, ou entr'elles, ont deux dimenfions; comme ax=yy, ou ax-xx=yy, ou xy=ab; l'équation eft du fecond degré, & la courbe dont elle exprime la nature, eft du premier genre.

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Lorfque l'une ou toutes les deux, ou leur produit, a trois dimensions, comme x'+axy=a', ou x3-axy=y3, ou xxy = ayy + a3, l'équation est du troisième degré, & la courbe dont elle exprime la nature, eft du fecond genre, & ainfi de fuite. Or on convient que les courbes du premier genre font plus fimples que celles du fecond; & cel les-ci plus que celles du troifiême, &c. C'est pourquoi ce feroit un vice de conftruire un Problême par le moyen d'une courbe du second genre, lorfqu'il peut être construit par le moyen d'une courbe du premier. Il en est ainfi des autres genres.

REMARQUE.

19. LORSQU'ON décrit une courbe par le moyen de fon équation, on regarde une des lettres inconnues qu'elle renferme, comme donnée à chaque fois qu'on change fa valeur pour déterminer la valeur correfpondante de l'autre, on doit donc auffi regarder à chaque fois l'équation, comme une équation déterminée; & parceque les équations déterminées, font d'autant plus faciles à construire, que leurs inconnues ont moins de dimensions; il est à propos dans les équations indéterminées, où les inconnues ne font pas également élevées, de prendre pour conftante, celle qui a plus de dimensions; & pour inconnue, celle qui en a moins.

Et puifque trouver un point d'une courbe, c'est résoudre un Problême déterminé, lorfque dans une équation indéterminée, l'inconnue que l'on ne prend point pour, conftante, n'aura qu'une dimenfion, la defcription de la courbe dépendra de la conftruction des Problêmes fimples déterminez. Lorfque cette inconnue aura deux dimensions, la defcription de la courbe dépendra de la conftruction des Problêmes plans; lorfqu'elle en aura trois ou quatre, la defcription de la courbé dépendra de la conftruction des Problêmes folides; & lorfqu'elle en aura un plus grand nombre, la defcription de la courbe dépendra de la conftruction des Problêmes lineaires.

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