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la Parabole par addition ou soustraction, l'on aura yy.

ay=

max

n

xx, qui est une équation au cercle dont la

construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême.

Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, FIG. 102. & x qui lui est perpendiculaire. Et foit décrite (Art. 10. n°. 11). fur l'axe AG dont le fommet eft A la Parabole AH, dont la parametre foit a CD. Cette Parabole fera celle dont l'équation est ay=xx.

=

L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette conftruction.

ma

23

Ayant pris fur AG, AI=¦a={CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à & du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menerà la droite MP parallele à IK, je dis que MP exprimée par x, qui eft l'inconnue de l'équation x'= mas que l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il faloit

trouver.

DE'MONSTRATION.

AYANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R, & PM en O. L'on a par la proprieté du cercle KA', ou KR' — KO'—0M3, ce

mmaa

=

qui eft en termes algebriques aa+ -yy-ay

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ay = xx;

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4

4nn

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Mais à caufe de la Parabole l'on a (Art. 10.)

-; mettant donc dans l'équa

aa

donc yy = tion précédente pour ay, fa valeur xx,

fa valeur xx, & pour yy,

fa

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FIG. 103. 8. DIVISER un arc de cercle BDFC en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant fuppofé le Problême réfolu; puifque par l'Hypothefe les arcs BD, DF, FC, font égaux, les cordes BD, FD, FC seront auffi égales, & DF fera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & outre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles ADB, ADF, AFC feront égaux, femblables & ifofceles, comme auffi les triangles BHD, CKF : car l'angle CFK (=KFD=AKH)=CKF. Par la même raifon l'angle BDH= l'angle BHD; c'est pourquoi, puifque (Hyp.) CF = DB; CK fera = BH. Mais les triangles ACF, CFK, FKI, font auffi femblables & ifofceles: car à caufe des paralleles AD, IF, l'angle KIF (=BHD)

=IKF KFC FCA.
=

En nommant préfentement le rayon AC, a; la donnée BC, b, & l'inconnue CF, ou CK, ou IH,ou HB,x;

l'on aura AC (a). CF (x) :: CF (x). FK=

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a

& CF

donc CI=

& partant CB=IB+CI=2x+x

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d'où l'on tire x3 =
заах aab, qui eft une équation du
troifiême degré, & qui ne pouvant être réduite à une équa-
tion du second, fait connoître que le Problême eft folide.

Pour le construire, foit premierement l'équation précédente multipliée par fon inconnue x, & l'on aura x= 3aaxx-aabx; & ayant fait ay=xx, l'on aura aayy=**.

Mettant donc dans l'équation du Problême, pour x*, &
leurs valeurs aayy,
& ay; l'on aura après avoir
pour xx,
divifé par aa, yy=3ay—bx, qui eft une autre équation
à la Parabole. Et en combinant par addition ou foustra-
ction, ces deux équations à la Parabole, l'on aura après
yy — 4ay — — xx―bx, qui est une équation
au cercle, dont la construction jointe avec celle de l'équa-
tion à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême.

la réduction yy — 4ay:

104.

Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va FIG. 103. vers G, & x perpendiculaire à AG qui va vers B, & foit décrite (Art. 10. n°. 11.) fur l'axe AG, dont le fommet foit A, la parabole FAN dont le parametre foit a=(Fig. 103.) AC. Cette Parabole fera celle dont l'équation eft ay=xx. L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette construction.

2

élevé Soit prife A1=2a= (Fig. 103.) 2AC, & ayant IK perpendiculaire à AG & b— BC, l'on dé. crira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la Parabole aux points A, M, N, F, parmi lesquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendicu laires MP, NO, FE fur l'axe AG de la Parabole, qui font les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême, deux defquelles PM, & QN font pofitives, & la troifiême EF, negative, de forte que PM fera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il faloit divifer; & QN, corde du tiers du refte du cercle BVC.

DE'MONSTRATION.

la

PAR la proprieté de la parabole l'on a (Art. 10.) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKRFIG.104. parallele à AG, l'on aura par la proprieté du cercle KĀ,

ou KR-KT TN', ou KZ-KX'XM', ou en termes algebriques, 4aa + bb — yy4ay

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4aa

xx + bx + 1 bb, ou 4ay —yy = xx + bx; & en remet

tant pour ay, & pour yy leurs valeurs xx,

&

204

aa

prises

dans l'équation à la Parabole ay=xx,
ay=xx, l'on aura, après
les réductions, x'=3aax— -aab. C. Q. F.D.

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9.S'IL y avoit un fecond terme dans l'équation que l'on vient de conftruire, il auroit falu avant toutes chofes le faire évanouir, & alors l'inconnue x, qui exprime la corde CF (Fig. 103.), ne fe feroit plus trouvée dans l'équation à construire; c'est pourquoi les perpendiculaires PM, QN, ne feroient égales aux cordes du tiers des arcs BFC, BVC, qu'après les avoir augmentées ou diminuées de la quantité connue de l'équation qui auroit fervi à faire évanouir le fecond terme, ce qui n'auroit apporté aucune difficulté.

REMARQUE I L

FIG. 104. 10. LES valeurs pofitives de x, PM & QN sont ensemble égales à la négative EF. Ce que je démontre en cette forte. On les prolongera en forte qu'elles rencontrent le cercle en L, S & H, & le diametre ZR en X, T & O.. Ayant nommé le parametre AB de la Parabole AM, a; la corde AG, qui est l'axe de la même Parabole, b; IK, ou PX, ou EO, c; PM, x; QN, y; & FE, 2; PL fera, 26 + Z; QS, 26+y; & EH, z—2c. AP sera (Art. 10.)

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On tire de la premiere équation,

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& 2aac = xZZ

dans la feconde & troifiême, l'on aura après les réductions x3y+2aacy=y3x+2aacx, & x31⁄2 +2aacz = × 2aacx, d'où l'on tire 2aac =xyy + xxy, **༢.; donc yy+xy=zz—xz, d'où l'on tire x=z—y, donc x+y=z, C. Q. F. D.

On démontreroit de même que, fi le cercle coupoit la Parabole en quatre points, les ordonnées qui partiroient des points d'interfection d'un côté de l'axe feroient enfemble égales aux ordonnées qui partiroient des points d'intersection de l'autre côté de l'axe. Soit qu'il en eût deux d'un côté, & deux de l'autre, ou trois d'un côté, & une de l'autre.

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Ce feroit encore la même chofe, fi le cercle touchoit la Parabole d'un côté de l'axe, & la coupoit en deux points de l'autre côté : car le point touchant doit être regardé comme deux points d'interfection infiniment proches. Ainsi, le double de l'ordonnée qui partiroit du point touchant, feroit égal à la fomme des deux ordonnées qui partiroient des deux points d'interfection qui feroient de l'autre côté de l'axe.

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11. SOIT encore le Problême proposé dans la Section précedente, Exemples, où l'on a trouvé ces deux équations 2 by — bb, & yy=ax+xx.

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Si l'on fait évanouiry, l'on aura

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