on doit toujours suivre les regles précedentes pour tirer les lignes necessaires. On confidere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes à resoudre. Ét en ce cas, on peut suivre les principes précedens. AVERTISSEMENT. Toutes ces Observations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans l' Application de l'Algebre à la Geometrie : mais la premiere & la septième sont les plus confiderables de toutes; car en suivant ce qui y est prescrit, les Problèmes indéterminez, feront toujours refolus par la voye la plus fimple, ou plutôt par la seule voye naturelle; c'est pourquoi fi en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la position n'est point conforme à ce qui eft dit dans ces deux Obfervations. Mais parcequ'on ne peut pas construire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raisons que l'on a dites art. 3. n°. 17; on est quelquefois obligé d'abandonner ces deux Observations. Voici à peu près ce qu'il y a à observer, quand on les veut fuivre. 17. Quand en resolvant un Problême avec deux inconnues, suivant la premiere Observation, on trouvera deux équations indéterminées ; le Problême sera déterminé, & on le pourra construire avec ces deux équations, si elles se rapportent toutes deux à la ligne droite, ou l'une à ligne droite, & l'autre au cercle, ou toutes deux au cercle; car il n'y a point de lignes plus simples que la droite, & la circulaire. 18. Si l'une de ces deux équations indéterminées se rapporte au cercle, & que l'autre soit du second degré, il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues; & fi l'équation déterminée qui en résulte, n'est point du premier, ou du second degré, on examinera fi elle ne peut point être divisée par quelque binome composé de quelqu'un des diviseurs du dernier terme, & d'une puissance : du premier qui lui soit égale, pour la réduire, si cela se peut, à une équation déterminée du second degré. Si par ce moyen on n'y réuffit point, il faudra, si elle est du quatriême degré, faire évanouir le second terme; la transformer en une équation du troisième, & voir fi elle ne peut point ensuite être divisée par quelque binome, composé d'un des diviseurs de deux dimensions du dernier terme, & du quarré de l'inconnue qu'elle renferme, & la réduire par ce moyen à une équation du second degré. Mais si l'on ne trouve aucun binome plan, qui puisse diviser l'équation transformée, le Problême sera solide, & on pourra le construire avec les deux équations indéterminées, de la maniere qu'on dira dans la neuvième Section; & la construction sera même beaucoup plus simple, & plus élegante que celle qu'on tireroit de l'équation déterminée, qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, comme on pourra voir en comparant les construtions des Problêmes solides de la neuvième Section, avec celles de la dixiême. 19. Si par la seule division l'équation déterminée peut être réduite à une équation du second degré, le Problême fera plan, & on le construira par le moyen de l'équation réduite à deux dimensions, comme on enseignera dans la Section suivante. Si pour réduire l'équation déterminée à une équation du second degré, il faut employer la transformation; on pourroit encore le construire par le moyen de l'une des deux équations du second degré que l'on en tire: mais la construction en sera beaucoup plus simple, si en abandonnant ce qui est dit dans la premiere Observation, on prend d'autres lignes pour inconnues, & que l'on en tire de nouvelles, selon qu'on le jugera necessaire, & que par ce moyen on puisse venir à une équation déterminée du second degré. Et fi on n'y réusfit pas du premier coup, il faudra encore tenter d'autres voyes; car quand un Problême est simple, on peut trouver une équation fimple, & conforme à sa nature, soit d'une maniere, soit d'une autre. 20. Si aucune des deux équations indéterminées ne se rapporte au cercle, & n'y peut être réduite par la combinaison de l'une avec l'autre, ou autrement ; & que l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des inconnues, foit du troisième ou du quatrième degré, & ne puisse être réduite par la division, ou par la transformation à une équation du second degré; il faudra par fon moyen construire le Problême, comme il fera enseigné dans la dixiême Section: car il sera necessairement folide, & quand on chercheroit d'autres équations par d'autres voyes, elles ne pourroient être plus simples que par leurs termes, un Problême ne pouvant jamais changer de nature. 21. Enfin si l'équation qui résulte de l'évanouissement de l'une des deux lettres inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées, excede le quatrième degré, & n'y peut être réduite par la division; le Problême fera lineaire, & on le construira par le moyen des deux équations indéterminées, comme on le dira dans la douziême Section. 22. La raison de tout ceci, est que pour construire les Problêmes simples, & plans, on ne doit employer que la ligne droite & le cercle; puisqu'on le peut toujours. Et fi on les construisoit par le moyen des deux équations indéterminées que l'on trouve en employant deux lettres inconnues on y employeroit souvent d'autres courbes, qui ne font pas si simples que le cercle. Pour construire les Problêmes solides dont les équations font du troisième ou quatrième degré, on ne doit employer que le cercle, & une courbe du premier genre, puisque cela se peut aussi toujours. Mais parceque pour construire les Problêmes lineaires, dont les équations excedent le quatriême degré, l'on ne peut faire servir le cercle; leur construction sera plus simple par le moyen des deux équations que l'on trouve en employant deux inconnues, felon la premiere Obfervation, que de toute autre maniere; car, à mon avis, c'est en quelque façon gêner la Geometrie que d'y introduire, souvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres qui se presentent naturellement, & dont la description est souvent très-simple: en quoi je voudrois que les courbes fussent préferées, sans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement. AVERTISSEMENT. Lorsqu'on sçait qu'un Problème est simple, ou plan, il n'est point necessaire d'avoir égard à la premiere Observation, ni d'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes si simples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations. Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section sera éclairci par toute la suite de cet Ouvrage, qui n'en est que l'Application, & un Commentaire. SECTION I I. Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometrique_ ment les quantitez Algebriques, & de refoudre les Problémes simples, &) plans; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du premier & du second degré. V. N peut exprimer Geometriquement toutes les moyen des quatre operations suivantes, qui sont de trouver des troisièmes, quatrièmes & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la somme, ou de la difference de deux ou de plusieurs quarrez. ab C 1. Pour exprimer Geometriquement ; ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extrêmité A foit fixe, fait AB=c, AD=a, mené BC=6, qui fafsse avec AB un angle quelconque ABC, s'il n'est pas déterminé d'ailleurs, ab & mené ACG; la ligne De parallele à BC fera : car ab i= C à cause des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD (a):: BC (b). DE= Ce feroit la même chose s'il faloit exprimer Geometriquement : car il n'y auroit C aa C qu'à faire BC=AD=a, après avoir fait AB=c; où l'on remarquera que toute quantité fractionnaire peut être regardée comme le quatrième terme d'une proportion, qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur eft le premier. De même pour exprimer Geometriquement aa+ab aa + ab c+d en réduisant en proportion l'on a c+d. a+b:: a. Faisant donc AB=c+d, AD=a+b, BC=a; DE parallele à BC, sera = Ce sera la même chose aa+ab C si l'on veut exprimer Geometriquement aa-bb : car en réduisant en proportion l'on a. c. a+b :: a-b.aa-bb Semblablement, pour exprimer Geometriquement aa qui contient deux proportions, c. a :: a. -, & d. b :: aab cd aa C C aab cd aa C › l'on exprimera d'abord -, comme on vient de voir C aab pour les quantitez précedentes, & ensuite Il en est ainsi des autres quantitez fractionnaires. cd 2. Pour exprimer Geometriquement Vab. Il faut pren |