Ayant fuppofé le Problême réfolu, l'on décrira du centre A, & du rayon AB, le cercle GBF, qui paffera par le point D; puifque DC, eft la difference des fegmens BE, EC de l'hypothenufe BC; & ayant prolongé AC en G; GC sera = AB+AC; & FC = ACAB. Nommant donc les données AB, a; DC, b; & l'inconnue CF, x; AC fera a + x; & GC, 2a + x ; & l'on aura à cause du cercle CD (b). CF (x) :: CG (2a + x). CB = 14x+**; donc à cause de l'angle

2ax xx

b

droit BAC. DC A B' + AC, ou en termes

équation du quatrième degré ; & qui & qui ne peut être divifée par aucun binome compofé de l'inconnue, & d'un des divifeurs du dernier terme : mais avant que de conclure quelle eft la nature du Problême, il faut faire évanouir le fecond terme. Faisant donc x + a=2, l'on a x = z — a ; & mettant cette valeur de x dans l'équation en la place de x, & les puiffances de cette valeur en la place des puiffances semblables de x, cette nouvelle équation →2aazz+at o; & com

ax=༢

bbzz - aabb

l'on aura

me le quatrième terme eft auffi évanoui, il fuit que le Problême eft plan: car faisant ayz, l'équation se changera en celle-ci, aayy za3 y+a+ = 0, ou yy = - abby aabb

"aay+bby+abb_a3

l'on , que

peut ramener à une des quatre formules précedentes, trouver par confequent la valeur de y, & chercher enfuite une moyenne proportionnelle entre y & a, qui fera la valeur de ༢, d'où ayant ôté on aura celle de x qu'il faloit trouver. Mais ces fortes de constructions font très-compofées; c'eft pourquoi dans de pareils cas, il faut tâcher, en prenant d'autres voyes,

de trouver une équation du fecond degré, qui donneroit une construction beaucoup plus fimple, plus élegante, & plus naturelle. Prenons donc BD pour l'inconnue; & FIG. 31. l'ayant nommée x; BC fera b+x; BE, ¦ x ; & EC, x+b; & l'on aura à cause de l'angle droit BAC, BE × EC = 1xx + 1 bx = A E2 : & à cause du triangle rectangle AEB, l'on aura BE+A E' = = 1 xx + 1 xx + 1 bx=aa — A B3, qui se réduit à xx = bx+2aa; d'où l'on

tire x = ftruction.

- 1 b ± √ 1⁄2bb +2aa, qui donne cette con

D, étant le commencement de x qui va vers B, on FIG. 32. prendra fur CD=b, prolongée de part & d'autre, DG

2a=2AB, & DH=a= AB, & ayant décrit fur le diametre GH, le demi cercle GRH, on élevera au point D la perpendiculaire DR, qui rencontrera la circonference en R. Et du centre Ò, milieu de DC=b, on décrira par R le demi cercle BRK qui coupera DG au point cherché B. De forte que DB fera la valeur pofitive de x, & DK fa valeur negative; c'est pourquoi ayant décrit fur l'hypothénufe BC, le triangle rectangle BAC, dont le petit côté AB soit=. =a, le Problême fera réfolu.

DEMONSTRATION.

PAR la conftruction AB-a, & DC= b; il ne reste donc qu'à prouver que la perpendiculaire AE qui tombe de l'angle droit A fur l'hypothénuse BC, divife BD par

le milieu en E.

=

La proprieté du cercle donne BD x DK - DR' = GD × DH; donc BD. GD ou 2DH :: DH. DK, ou en prenant la moitié des confequens, BD. DH ou AB :: AB.

DK; donc BD DK, ou 1⁄2 BD × DK — A B2 } donc DK, ou CB. AB:: AB. BD: Mais les triangles femblables CBA, ABE donnent CB. AB :: AB. BE; donc AB. B'D :: AB. BE; donc 1⁄2 BD — BE. = C. Q. F. D.

FIG. 33. 14. UN quarré ABCD dont les côtez AB, AD font prolongez étant donné; il faut trouver fur l'un des prolongemens AE, le point E, en forte que la ligne menée par E, & par Pangle C, terminée par l'autre prolongement BF, foit égale à une autre ligne donnée KL, qui ne foit pas moindre que le double de la diagonale du quarré.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé AD, ou AB, a; KL, b; & les inconnues AE, x; AF, y; DE sera, x-a; le triangle rectangle FAE donnera A F2 + A F2 — xx+yy= bb = ( hyp.) EF, qui eft une équation au cercle. Et les triangles femblables FAE, CDE; donneront y. (FA.) x (AE): a (CD). x—a (DE); donc xy—ay=ax, qui eft une équation à l'hyperbole par raport à fes afymptotes; & ayant fait évanouiry, & or donné l'équation, on aura:

A. x* 2ax' + 2aaxx+2abbx aabb

qui eft une équation du quatrième degré, & qui ne peut être divifée par aucun binome, c'eft pourquoi pour déterminer quelle eft la nature du Problême, il faut, fuivant les principes de Mr Defcartes, & ce que nous avons dit article 4. n°. 18, faire évanouir le fecond terme. Soit pour ce fujet x—a—z; donc x=x+a; xx=zZ+ az + 1⁄2 aa ; x' =2' + 1⁄2 azz + 1⁄2 aaz+ }; a'; x*=z' + zaz3· + 1⁄2 aazz + 1/2 a2z+% a*, & mettant ces valeurs de x, de x', & de x* dans l'équation A, elle deviendra

de xx,

celle-ci.

x

Pour transformer prefentement l'équation B en une équation du troifiême degré, on fe fervira de ces deux équations:

C.༢༢—༡༢—/=༠,

D. z+y2+t=o, que je multiplie l'une pour avoir celle-ci:

E.

par l'autre,

2* — szz — Syz — tf = o. qui est semblable à

―yyzz― tyz

+tzz:

l'équation B. Mais pour abreger le calcul, j'égale les quantitez connues de chaque termé de l'équation B à de fimples lettres connues; fçavoir,

1 aa— bb=p.

a' + abb

— a* — — aabbr. De forte que l'équation B devient celle-ci.

F. 2*+pzz+qz+r=0.

Je compare prefentement les deux équations E & F, terme à terme, chacun à fon correfpondant; ce qui me donne les trois équations fuivantes : car les deux premiers termes ne donnent rien.

s=

L'équation I donne ==; & mettant en la place de, cette valeur dans les deux équations G & H, & multipliant enfuite par t, l'on a les deux fuivantes.

-tyy+r=pt.

- tty + ry = qt.

L'équation K donne tttyy + ptr, & mettant cette valeur de tt dans l'équation L, l'on a - ty' —

pty + 2ry = qt, d'ou l'on tire M. t =

&

zry y' + py + q ; H & I, l'on

mettant cette valeur de t dans les équations

aura les deux qui suivent, N.

-fry

y3 + py + q

=r;

d'où faifant évanouir l'inconnue f, ôtant

les fractions, & retranchant ce qui doit être retranché, l'on aura P. yo + ¿py* ✦ppyy —qq y ✦ 2py" ✦ppyy —qq o, qui eft l'équa

4ryy

tion transformée, & qui fe rapporte au troifiême degré; & remettant à present dans l'équation P, en la place de p, q, & r leurs valeurs, l'on aura,

Q. y° + aay* + b* yy. aR

— 2bby* — aˆyy

zat bb

aa b*

Si l'on tente prefentement toutes les divifions de cette équation par les binomes qu'on peut former par le quarré de l'inconnue y, c'est-à-dire, par yy; (car il n'est point ici neceffaire de les tenter par aucun autre); & par quelqu'un des divifeurs Plans du dernier terme, l'on trouvera qu'elle peut divifer par celui-ci.

fe

R. yy

— aa— bb = 0 ; & le quotient fera

S. y* + 2aayy + a*

bbyy + aabb

O.

qui eft une équation du fecond degré, & qui par confequent fait connoître que le Problême eft Plan.

Si l'on veut le réfoudre fans chercher une autre équation du second degré : Voici la méthode qu'on doit fuivre.

L'on a déja l'equation O.

tire T.f=— Il ne s'agit plus que de chercher une valeur semblable de t; ce qui fe fait en cette forte. L'équation I donne = =7; mettant donc cette valeur de dans les deux équations G & H, l'on aura ~ — Syy — Ss = pf, & ry — fly = qf: & faifant ry + q évanouir le quarré, l'on aura — r — y