Ayant fuppofe le Problême réfolu, l'on décrira du centre A, & du rayon AB, le cercle GBF, qui paffera par le point D; puifque DC, eft la difference des fegmens BE, EC de l'hypothenufe BC; & ayant prolongé AC en G; GC fera =AB+AC; & FC AC = AB. Nommant donc les données AB, a; DC, b; & l'inconnue CF, x; AC fera a + x ; & GC, 2a + x ; & l'on aura à caufe du cercle CD (b). CF (x) :: CG 14x+**; donc à cause de l'angle AB' + AC, ou en termes 2aa + 2ax + xx, ou en 2ax xx = (2a + x). CB = aaxx b x*+ 4ax2+ 4aaxx — zabbx zaabb = 0, qui est une " - bbxx équation du quatrième degré, & qui ne peut être divifée par aucun binome compofé de l'inconnue & d'un des divifeurs du dernier terme : mais avant que de conclure quelle eft la nature du Problême, il faut faire évanouir le fecond terme. Faisant donc x + a=%, l'on ax=༢& mettant cette valeur de x dans l'équation en la place de x, & les puiffances de cette valeur en la place des puiffances femblables de x, cette nouvelle équation 4 2aazz+a+= 0; = 0; & com a; l'on aura ― ―――― bbzz - aabb me le quatriéme terme eft auffi évanoui, il fuit que le Problême eft plan: car faifant ayzz, l'équation fe changera en celle-ci, aayy — 2 a3 y + a+ = 0, ou yy = - abby aabb "aay+bby+abb _ as , que l'on peut ramener à une des quatre formules précedentes, trouver par consequent la valeur de yr & chercher enfuite une moyenne proportionnelle entre y & a, qui fera la valeur de z, d'où ayant ôté a, ༢, on aura celle de x qu'il faloit trouver. Mais ces fortes de constructions font très-compofées; c'eft pourquoi dans de pareils cas, il faut tâcher, en prenant d'autres voyes, de trouver une équation du fecond degré, qui donneroit une construction beaucoup plus fimple, plus élegante, & plus naturelle. Prenons donc BD pour l'inconnue, & FIG. 31. l'ayant nommée x; BC sera b+x; BE, ¦ x; & EC, x+b; & l'on aura à cause de l'angle droit BAC, BE × EC =xx + bx: = AE3: & à caufe du triangle rectangle AEB, l'on aura BE' +A E' = 4 xx + 1 xx + 1 bx = aa A B', qui fe réduit à xx=— bx+2aa; 1 b±√bb +2aa, qui donne cette con d'où l'on = — tire x = ftruction. D, étant le commencement de x qui va vers B, on FIG. 32. prendra fur CD=b, prolongée de part & d'autre, DG =2a=2AB, & DH = a AB, & ayant décrit fur le diametre GH, le demi cercle GRH, on élevera au point D la perpendiculaire DR, qui rencontrera la circonference en R. Et du centre O, milieu de DC=b, on décrira par R le demi cercle BRK qui coupera DG au point cherché B. De forte que DB sera la valeur positive de x, & DK fa valeur negative; c'est pourquoi ayant décrit fur l'hypothénufe BC, le triangle rectangle BAC, dont le petit côté AB foita, le Problême fera résolu. DEMONSTRATION. PAR la construction AB=a, & DC = b ; il ne reste donc qu'à prouver que la perpendiculaire AE qui tombe de l'angle droit A fur l'hypothénufe BC, divife BD par le milieu en E. = La proprieté du cercle donne BD × DK — DR' — GD x DH; donc BD. GD ou 2DH :: DH. DK, ou en prenant la moitié des confequens, BD. DH ou AB :: AB. DK; donc BD DK, ou BD × DK — A B2 } donc DK, ou CB. AB :: AB. ¦ BD: Mais les triangles femblables CBA, ABE donnent CB. AB :: AB. BE; donc AB. B'D :: AB. BE; donc BD = BE. C. Q. F. D. PROBLEME PLAN. FIG. 33. 14. UN quarré ABCD dont les côtez AB, AD font prolongez étant donné ; il faut trouver fur l'un des prolongemens AE, le point E, en forte que la ligne menée par E, & par Pangle C, terminée par l'autre prolongement BF, foit égale à une autre ligne donnée KL, qui ne foit pas moindre que le double de la diagonale du quarré. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé AD, ou AB, a, KL, b; & les inconnues AE, x; AF, y ; DE fera, x-a; le triangle rectangle FAE donnera A F2 + A F2 — xx+yy = bb = ( hyp.) EF, qui eft une équation au cercle. Et les triangles femblables FAE, CDE; donneront y. (FA.) x (AE): a (CD). x—a (DE); donc xy-ay-ax, qui est une équation à l'hyperbole par raport à fes afymptotes; & ayant fait évanouiry, & ordonné l'équation, on aura: aabb +2aaxx+2abbx. bbxx qui eft une équation du quatriême degré, & qui ne peut être divifée par aucun binome; c'eft pourquoi pour déterminer quelle est la nature du Problême, il faut, fuivant les principes de M' Defcartes, & ce que nous avons dit article 4. n°. 18, faire évanouir le second terme. Soit pour ce fujet x-a=z; donc x= x—a—z; donc x=z+1a; xx=ZZ+ az+1⁄2aa ; x'=2'+ 1⁄2 azz + 1⁄2 aaz+ 22+ 1⁄2 azz + 1⁄2 aaz+ }; a' ; x*=zˆ+ zaz" · + 1⁄2 aazz + 1/2 a'z+% a*, & mettant ces valeurs de x, de x3, & de x* dans l'équation A, elle deviendra 8 de xx, celle-ci. B. z + aazz+a2z+ // a* A. x — 2ax' — bbzz + abbz — — aabb, où il n'y a point de second terme. O. Pour transformer prefentement l'équation B en une équation du troifiême degré, on fe fervira de ces deux équations: C.༢༢—༡༢—/=༠. D. zz+yx+t=o, que je multiplie l'une par l'autre, pour avoir celle-ci: E. ― z—szz — Syz — tf= o. qui eft femblable à =༡༡༢༢— ༡༢ + ྃ༢༢: l'équation B. Mais pour abreger le calcul, j'égale les quantitez connues de chaque termé de l'équation B à de fimples lettres connues; fçavoir, — aa-bb-p. a3 + abb = q. 16 a* — — aabbr. De forte que l'équation B devient celle-ci. F. 2+PZz+qz+r=0. Je compare prefentement les deux équations E & F, terme à terme, chacun à fon correfpondant; ce qui me donne les trois équations fuivantes : car les deux premiers termes ne donnent rien. G. t—yy-f=p. - ty—fy=q. I. tf=r. H. » L'équation I donne = & mettant en la place def, cette valeur dans les deux équations G & H, & multipliant enfuite par t, l'on a les deux fuivantes. K. it tyy +r=pt. + L'équation K donne tt = tyypt—r, & mettant cette valeur de tt dans l'équation L, l'on a-ty pty2ry=qt, d'ou l'on tire M. t = mettant cette valeur de t dans les équations zry y' + py+q; & H & I, l'on aura les deux qui fuivent, N. -2ryy —fy=q,&0. y3 + py +9 =r; d'où faifant évanouir l'inconnue f, ôtant 2 fry y3 +py + q les fractions, & retranchant ce qui doit être retranché, l'on aura P. y + 2py" ✦ppyy —qq 6 = 0, qui est l'équa 4ryy tion transformée, & qui fe rapporte au troifiême degré, & remettant à present dans l'équation P, en la place de p, q, &r leurs valeurs, l'on aura, Q. y° + aay* + b* yy — a° — 2bby* — a1yy zat bb - aa b* - Si l'on tente presentement toutes les divifions de cette équation par les binomes qu'on peut former par le quarré de l'inconnue y, c'est-à-dire, par yy; (car il n'eft point ici neceffaire de les tenter par aucun autre); & par quelqu'un des divifeurs Plans du dernier terme, l'on trouvera qu'elle peut divifer par celui-ci. fe R. yy aa- bbo; & le quotient fera S. y + zaayy + a* bbyy + aabb qui eft une équation du fecond degré, & qui par confequent fait connoître que le Problême est Plan. Si l'on veut le réfoudre fans chercher une autre équation du fecond degré: Voici la méthode qu'on doit fuivre. -2fry =r, d'où l'on L'on a déja l'equation 0. y3 +py + q y' — py — q Il ne s'agit plus que de cher tire T.S=cher une valeur semblable de t; ce qui fe fait en cette 2y forte. L'équation I donne t = デ mettant donc cette valeur det dans les deux équations G & H, l'on aura ·Syy — SS = pf, & ry - Sy qf: & faifant évanouir le quarré, l'on aura — r — ry + qs fyy y |
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