dont la longueur n'eft point déterminée: comme la ligne EFG, qui étant une fois pofée dans une fituation perpen- FIG. 2. diculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre pofition..

Les lignes données de grandeur & de pofition tout enfemble, font celles qui ne peuvent changer de fituation, & dont la longueur eft déterminée, de forte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir: comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois pofé dans une fituation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre pofition..

Les lignes données de grandeur, & qui ne le font point de pofition, font celles dont la grandeur ne peut varier ; quoique leur fituation puiffe changer, comme le demi diametre DB, qui demeure toujours de même grandeur en Fic. 2. quelque endroit de la circonférence ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur font aussi appellées lignes connues ou lignes conftantes, & on les nomme par des lettres connues, a, b, c, d, &c.

Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de pofition, font celles qui en changeant de places, changent auffi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point H s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de pofition, font auffi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues x, y, z, &c.

2. Lorsqu'on veut refoudre un Problême, on le doit con fiderer comme déja refolu, & ayant mené les lignes que l'on juge neceffaires, l'on nommera celles qui font connues par des lettres connues, & celles qui font inconnues par des lettres inconnues, & fans faire de distinction entre les quantitez connues & inconnues, on examinera les litez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes ; & ces deux expreffions d'une même quantité étant égalées l'une

qua

à l'autre, donneront une équation qui refoudra le Problême, qui fera déterminé, fi elle ne renferme qu'une feule lettre inconnue.

Mais fi elle renferme plufieurs lettres inconnues, il faut tâcher par le moyen des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équations que l'on aura employé de lettres inconnues, afin que les faifant évanouir, de la maniere qu'il est enseigné dans tous les livres d'Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une feule, cette équation étant reduite, s'il eft neceffaire, à fes plus fimples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d'Algebre, donnera la folution du Problême qui fera encore déterminé.

Si l'on ne peut trouver autant d'équations que l'on a employé de lettres inconnues, de forte qu'il refte au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Problême fera indéterminé, & aura une infinité de folutions. Enfin, fi dans la derniere équation il reftoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues, le Problême feroit encore indéterminé, mais il feroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point.

Il eft fouvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il est déterminé ou indéterminé; auquel cas on fçait, fi ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou fi l'on n'en doit trouver qu'une feule: mais il arrive auffi quelquefois que cela n'eft pas fi facile à diftinguer, & c'est en ce cas qu'il faut tâcher de trouver autant d'équations qu'on a employé d'inconmues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Problême.

On n'explique point plus au long ce principe; car tout ce Traité n'en eft que l'application. On fe contentera de faire ici quelques réflexions fur les équations qui ne contiennent qu'une feule, ou deux lettres inconnues, c'està-dire fur les équations déterminées, & fur les indéter

minées.

DES

DES EQUATIONS DETERMINE'ES.

3. ON fçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines, qu'elle a de dimenfions dans le terme où elle eft le plus élevée, que ces valeurs font vrayes, fauffes, ou imaginaires; on ne dit pas qu'elles foient toutes d'une même efpece dans une même équa tion: car dans une même équation il y en a quelquefois des trois efpeces, de vrayes, de fauffes & d'imaginaires.

Les racines vrayes ou pofitives font celles qui font précedées du figne+: comme xa.

Les racines fauffes ou negatives font celles qui font précedées du figne: comme x➖➖a. Les racines fauffes font d'un grand ufage dans la Geometrie; car comme elles font autant réelles que les racines pofitives, elles fervent à déterminer les pofitions des courbes autant que les pofitives, dont elles ne different qu'en ce que les pofitives devant être prifes d'un côté d'un point ou d'une ligne, les fauffes doivent être prifes de l'autre, comme on verra dans la fuite.

Les racines imaginaires font celles qui font fous un figne radical avec le figne-, dont l'expofant eft un nombre pair: comme x=V-ab; & comme la valeur de ces racines ne peut être exprimée, on les regarde comme nulles ou =0; de forte que xv-ab doit être regardée comme x=0.

Dans toutes les équations où il n'y a que deux termes tous deux pofitifs, l'un connu & l'autre inconnu, fi l'expofant de l'inconnue eft un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une pofitive & l'autre negative, toutes les autres feront imaginaires. Par exemple, de xx=aa, - l'on tire x = a, & x — — ; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toujours xx=aa, puifque donne auffi bien que+x+, & en general de x =a' (p. fignifie un nombre pair quelconque) l'on tire x = a: ce qui fe prouve comme on vient de faire, en élevant l'un & l'autre membre à la puissance paire p; car l'on aura toujours x=+a2.

B

Si l'un des termes eft pofitif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue feront imaginaires : car on n'aura jamais le figne de — après avoir élevé une quantité negative à une puiffance paire : par exemple puiffance paire p donnera toujours + a2, & jamais — a2.

— a élevé à une

Si l'expofant de l'inconnue eft un nombre impair, l'inconnue n'aura qu'une racine réelle qui eft pofitive, lorsque les deux termes des équations font pofitifs; negative lorfqu'un d'eux eft negatif, toutes fes autres racines font imaginaires: par exemple, de x'a', on tire x=a,& non pas x=—a, & de x' —— a', on tire x ——a & non pas xa; car le cube d'une grandeur positive est toujours pofitif, & celui d'une quantité negative est toujours negatif. Et en general de x1=+a1 (q fignifie un nombre impair) on tire x+a; de même, de xa—— aa on tire donne x——a: car+a élevé à une puiffance impaire q +a1:&—a élevé à une puiffance impaire q donne toujours-a1.

χ

On fera les mêmes raisonnemens fur les équations composées par exemple xxaa + bb_donne x =+ √aa+bb, xx=aa— -bb donne x=+Vaa =+Vaa―bb: mais en ce cas fi b surpasse a, les deux valeurs de x feront imaginaires. xx=+ax=bb donne x=±a±vaa+bb:car en transposant l'on aura xxax=bb; & ajoutant aa quarde part & d'autre rendre le premier membre pour ré, l'on aura xx Fax + 1 aaaabb; donc en extrayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a x + ÷ a=±√ aa+bb, ou x=+÷a±√ aabb. Il en est ainfi des autres. Mais il faut remarquer que fi dans ce dernier exemple, & dans les femblables, bb a le figne que b furpaffea, la valeur de x fera imaginaire; car puifque la quantité aa— bb qui eft fous le figne radical, est alors negative vaa-bb fera une quantité imaginaire; & par confequent auffi + a +

de

&

-

1

Vaa-bb: car une quantité imaginaire étant combinée par addition ou soustraction avec une quantité réelle, rend le tout imaginaire.

4. On connoît la nature d'un Problême déterminé par le plus haut degré, ou ce qui eft la même chofe, par la plus haute puiffance de l'inconnue, qui fe trouve dans l'équation qui fert à le réfoudre, en fuppofant que cette équation foit réduite à fon expreffion la plus fimple. De forte que lorsqu'en réfolvant un Problême, on vient à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimenfion : comme x = qui est une équation du premier degré, le

ab

C

Problême eft appellé fimple.

Lorfqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux dimenfions: comme xxax+bb, qui est une équation du fecond degré, le Problême eft nommé plan.

Lorfqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois ou quatre dimenfions, comme x'= aab, ou x*— a’b qui font des équations du troifiême & du quatriême degré, le Problême eft nommé folide.

Lorsqu'on vient à une équation où l'inconnue eft élevée au-delà du 4° degré, le Problême eft nommé lineaire.

5. Quand une équation déterminée a tous fes termes, le nombre en eft plus grand de l'unité, que l'expofant de la plus haute puiffance de la lettre inconnue qu'elle renferme. Ainfi une équation du fecond degré ne peut avoir que trois termes; une équation du troifiême degré, n'en peut avoir que quatre; une du quatriême, cinq; & ainfi des autres. Mais il y manque fouvent quelqu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plufieurs, & quelquefois ils y manquent tous.

Le premier terme d'une équation, eft celui où l'inconnue est élevée à une puiffance plus haute que dans tout autre terme. Le fecond, eft celui où elle eft moins élevée d'une dimension. Le troifiême, celui où elle est moins élevée de deux dimenfions; & ainfi de fuite. Le dernier, 'est celui où elle ne fe trouve point du tout.