cn 4m 4m car 4m. a :: b. c. donc nab-mab cm. Mais puifque n <m foit n―m――f; donc en — cm = & faifant fe gg on aura cn - cm -fc, 4m en mettant nah-mab 4m •88, ou nab-mab gg, gg. Ceci fuppofé il faut achever le quarré & l'on aura xx - 11 ax — 1 bx + 1⁄2 aa + 1⁄2 ab + 1/6 bb = 16 aa + ab + 1 bb 1/ gg gg pour d'où tirant la racine quarrée on a x — √ 1 aa + /1/ ab + 1/ I bb √ aa+ab + ÷ bb —gg. a été pris égal à - 1a — 16 b 44 I 8 16 6 gg; donc x = 1 a + 1 b + 6 a + b; fait KO, ou QL=8=√mab nab, on aura KL=√ AK—QL= 4m 2 2 √ aa+ab+bb-gg; donc x = AK-KL=AL. —— Ce qui fournit cette construction. 2 4m Soit prife AI= a + 1 b, & décrit fur le diametre AI, le demi cercle API. Et ayant élevé au centre K, la perpendiculaire KP, pris KO= √ mab=nab, & mené par o la ligne QOR, parallele à AI, qui rencontrera le demi cercle aux points Q & R, par où l'on menera QL & R M paralleles à PK, qui couperont AI aux points cherchez Z & M. De forte qu'ayant pris AS, BT,& BV égales à AL, l'on formera le rectangle EHGF, & le Problême fera résolu. DE'MONSTRATION. LQ', ou en PAR la proprieté du cercle AL × LI — mab-nab J'ai démontré la conftruction de ces deux derniers Problêmes algebriquement, pour indiquer la maniere de démontrer tous les autres de même ; ce qui eft fi facile, que je ne crois pas qu'il foit neceffaire d'apporter un plus grand nombre d'exemples. Les Démonstrations faites à la maniere des Anciens, éclairent plus l'efprit que les Démonftrations Algebriques, quoiqu'elles ne foient pas plus certaines : mais auffi elles ne font pas fi faciles à trouver, comme il eft aifé de juger par les Démonstrations des Problêmes précedens, que l'on auroit pû démontrer par l'Algebre auffi facilement que les deux derniers. SECTION III. Où l'on donne la Méthode de démontrer les Theorêmes de Geometrie. METHOD E. VIII. A PRE'S avoir mené les lignes que l'on juge neceffaires, en fuivant les Obfervations de l'article 4, on nommera celles qui doivent entrer dans la question, comme lorfqu'on veut réfoudre un Problême avec cette différence, que l'on peut fe fervir de toutes les lettres indifféremment: car comme l'on ne cherche la grandeur d'aucune ligne, on les peut regarder comme étant toutes connues, ou inconnues. Cela fait, on exprimera en termes Algebriques, les veritez que l'on veut démontrer, & on cherchera des équations par les proprietez du triangle rectangle, & des triangles femblables, ou autrement, que l'on ramenera par le moyen des substitutions aux mêmes expreffions, que celles qui expriment les veritez dont il s'agit, & alors le Theorême fera démontré. S'il arrive que tous les termes de l'équation fur laquelle on opere, fe détruisent, de forte qu'il refte oo, le Theorême fera encore démontré : car c'est une marque que la chofe eft telle qu'on l'a fuppofée, fans qu'il foit neceffaire de déterminer la grandeur d'aucune des lignes qui ont été nommées. Ceci arrive ordinairemen lorfque 7 l'on regarde les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes qu'on veut réfoudre. Il arrive auffi quelquefois que l'on croit réfoudre un Problême, & il fe trouve par la mutuelle deftruction des termes de l'équation, que c'eft un Theorême, qui fe trou. ve auffi par ce moyen démontré. Tout ceci fera éclairci par les exemples qui fuivent. EXEMPLE I. Theorême. FIG. 37. 1. SI une ligne droite donnée AB; eft coupée également en C, & inégalement en D; le quarré de la moitié CB moins le quarré de la partie du milieu CD, fera égal au rectangle des deux parties inegales AD, D B. Ayant mommé AC, ou CB, a; CD, b; AD, sera, a+b; & DB, a—b. Il faut démontrer que aa DB. bb (CB' — CD') = AD × DEMONSTRATION. EN multipliant a+b(AD) par a — b, (DB) l'on aura aa—bb (CB'—CD ̊) — AD × DB. C. Q. F. D. I I. EXEMPLE Theorême. FIG. 38. 2. I une ligne droite AB, coupée par le milieu en C, eft prolongée en D d'une grandeur quelconque. Je dis que le quarré de CD moins le quarré de CB, fera égal au rectangle de la toute AD, par la partie prolongée BD. Ayant nommé CD, a; AC, ou CB, b; AD sera a+b; & BD, a-b. Il faut démontrer que aabb (CD'— CB3)—AD × DB. DEMONSTRATION. SI l'on multiplie a+b (AD) par a— b (DB), l'on aura aa — · bb ( CD1 — CB2 ) — AD × DB. C. Q_ F. D. On démontrera de même les autres propofitions du second Livre d'Euclide, où il s'agit des proprietez des lignes divifées de différentes manieres. EXEMPLE III. Theorême. DAN 3. ANS tout triangle obtufangle ABC, dont l'angle F10.39. ABC eft obtus, fi l'on prolonge un des côtez BC du côté de B, & que l'on abaiffe du point A fur le prolongement, la perpendiculaire AD; le quarré du côté AC oppofe à l'angle obtus, fera égal à la fomme des quarrez des deux autres côtez AB, BC, & outre cela à deux rectangles dont BC eft un côté, & le prolongement BD, l'autre. Ayant nommé AC, a; AB, b; BC, c; DB, d; AD, g; DC fera C+d. Il faut prouver que aa ( AC2 ) = bb + cc + 2cd ( AB2 +BC+2bc x BD). DE'MONSTRATION. A Caufe du triangle rectangle ADC; aa (AC)=gg = de Si l'on fait DB (d)=o, le point B tombera en D, FIG.40; & l'angle ABC fera droit ; & l'on aura aa = bb + cc: car 2cd devient nulle à caufe de do: mais fi l'on fait d negative, & moindre que c = BC; le point D tombera entre B, & C; & partant les deux angles ABC, & C feront aigus, & l'on aura en changeant le figne du terme où d fe rencontre, aa—bb — 2cd+cc, ou aa +2cd=bb+cc, ou AC+ 2BC × B D = A B2 + BC'; c'est-à-dire que dans tout triangle, le quarré du côté oppofé à un angle aigu, avec deux fois le rectangle du côté fur lequel tombe la perpendiculaire, par la partie interceptée entre la perpendiculaire, & cet angle aigu, est égal à la fomme des quarrez & des deux autres côtez. EXEMPLE IV. Theorême. FIG. 41. 4. SI dans un cercle ABGD, dont le centre eft C, l'on mene librement deux droites BE, DF qui fe coupent en O. Je dis que BO × OE=DO × OF. L'on menera par le point 0, le diametre ACOG, les rayons CB, CD, & les perpendiculaires CI fur BE, & CK fur DF; & ayant nommé les rayons CA, CG, CB, CD, a; BI, ou IE, b; DK, ou KF, c, OI, d; ÓK, f; CI, g; CK, h; CO, k; BO fera, b+d; OE, b — d; DO, c+f; & O F, c-f. Il faut démontrer que bb — dd (BO × OE) = cc — ff (DO × OE). DE'MONSTRATIO N. LES EXEMPLE |
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