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FIG. 5o.

ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre; la ligne KR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'abcisse ou la coupée ; LI ou LH, l'ordonnée ou l'appliquée à

l'axe Dd.

Il peut arriver un cas où la Section eft un cercle, quoique le Plan coupant ne foit point parallele à la bafe du Cone: mais cela ne fait rien à notre deffein.

7. La Section conique IDH, eft appellée hyperbole, lorsque le Plan coupant E D F, coupe auffi la fuperficie conique oppofée, & y forme une autre hyperbole edf, oppofée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & femblable; Dd eft nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles oppofées ; D, & d, le fommet de l'axe Dd; DL, l'abciffe, ou la coupée; LI, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée; le point K milieu de Dd,

le centre.

FIG. 48. 8.)

A

PROPOSITION I.

Theorême.

8. EN fuppofant les mêmes chofes que l'on a supposées dans la Figure où la courbe IDH eft une parabole; & outre cela, fi on mene DO parallele à BC, ou à MN; fi on prend AP DO, & qu'on mene PQ parallele à DO, ou à MN. Je dis que DLXPQ=LI'=LH'.

=

Puifque le Plan coupant EDF eft ( no. 5.) parallele à AC, AP = DO fera LN; & ayant nommé les données AO, b; DO, ou AP, ou LN, c; PQ, p; & les inconnues DL, x; & LI, y..

Il faut prouver que px (PQ × DL) = yy (LI).

DEMONSTRATION.

LEs triangles femblables AOD, DIM, donnent AO
(b). OD (c) :: DL (x), LM = ; Or (n°. 4.), & par
la proprieté du cercle (LM × LN ) = ( LI') =yy:

mais la reffemblance des triangles AOD, APQ donne b, (AO). c (OD) :: c(AP). p (PQ); donc ce= = bp. Mettant donc bp en la place de ce dans la premiere équa tion, l'on aura px=yy. C. Q F. D.

DEFINITION.

9. LA ligne PQ=p, eft appellée le parametre de l'axe F 16.48. de la parabole.

PROPOSITION. II.

Theorême.

10. EN fuppofant les mèmes chofes que dans la Figure où FIG. 49. la courbe IDH eft une ellipfe & outre cela fi l'on divife Dd par le milieu en K, & fi l'on mene SKT parallele à MN, & VKR parallele à HI; RV, fera la commune Section de l'ellipfe, & d'un cercle SRTV, dont le diametre eft ST, & qui eft coupé dans la fuperficie Conique par un Plan parallele à la bafe du Conc, ou au Plan du cercle MINH, puifque H.I eft (no. 4.) la commune Section de l'ellipfe, & du cercle MINH. De forte que V & R feront dans la circonference du cercle SRTV, & dans celle de l'ellipfe. Cela pofé, je dis que DL x Ld. LI:: DK'. KR.

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Ayant nommé les données DK, ou Kd, a; SK, g; KT, f; KV, ou KR, b; & les indéterminées KL, x; LI, ou LH,y; DL fera a-x,& dĹ, a+x.

Il faut démontrer que aa—xx (DL × Ld ) . yy ( LI' ) :: aa (DK'). bb ( KR3).

DEMONSTRATION.

LES
Es triangles semblables dKT, dLN, & KDS, LDM,
donnent dK (a). KT (ƒ)::dL (a+x). LN

& KD (a). KS (g) :: LD (a — x). LM =

af+fx

a

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donc par la proprieté du cercle

aafg -afgx afgx-fgxx

aa

=yy:

aafg-fgxx

(LN × LM)=yy (Lľ2), qui se réduit à aaƒg — ƒgxx

=

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aa

mais fg TK × KS = ( par la proprieté du cercle) KR'bb; c'eft pourquoi mettant dans l'équation pré

cedente pour fg sa valeur bb, l'on aura

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aabb bbxx

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=yy,

d'où l'on tire aa — xx. yy :: aa. bb.

Si l'on avoit nommé DZ, x; l'on auroit trouvé cette

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FIG. 50. 11. EN fuppofant les mêmes chofes que l'on a fuppofees dans la Figure où la courbe IDH eft une hyperbole, & outre cela, fi l'on divife Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS parallele à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL x Ld. LI2:: DK2. KR2.

Ayant nommé les données KD, a; KR, b; KS, g; KT, f; & les indéterminées KL, x; LI, ou IH,y; ZD fera, x- a ; & Ld, x+a.

DEMONSTRATION.

LEs triangles femblables dKT, dLN, & DKS, DLM,

donnent, dK (a). KT (f) :: dL (x+a). LN

fs+af

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(LI). L'on a aussi par la conftruction g (KS). b (KR) :: b. (KR). f(KT); donc gf=bb; c'eft pourquoi fi l'on met dans l'équation précedente, en la place de gf sa va

leur bb, l'on aura

bbxx aabb

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аа

yy, ou xx -aa

d'où l'on tire xx — aa. yy :: aa. bb. C. Q. F. D. .

fa

aayy

bb

Si l'on avoit nommé DZ, x; l'on auroit eu cette équa

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12.

DEFINITIO N.

LA ligne VKR double de KR menée par K paral- FIG. 493 lele à IH, est appellée l'axe conjugué à l'axe Dd.

13. Dans l'ellipfe & dans l'hyperbole, la troifiême proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, eft appellée le parametre de celui qui occupe le premier. lieu dans la proportion.

14. Suivant cette Définition, il eft aifé de déterminer le parametre de l'axe Dd dans l'ellipfe, & dans l'hyperbole: car il n'y a qu'à prendre DP = 2KT ; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en fera le parametre qu'on cherche: car, ayant nomQ, mé la ligne PQ, p; les triangles femblables DKS, DPQ2 donnent a (DK). g(KS) :: 2f (DP, ou 2KT). p (PQ) ; donc pa= 2fg: mais (n°. 11,) fg=bb; donc pa=2bb, d'où l'on tire a. b:: 2b. p, ou 2a. 26 :: 26. 2b P2 c'est-à-dire Dd. RV:: RV. PQ.

15. Puisque (n°. 14.) a, b :: 2b. p :: b . 1⁄2 P ;

bba, p: 2a. p; donc aap
1
c'est pourquoi, fi l'on met dans les
dentes (no. 10, & 11,) au lieu de

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donc aa.

44 66

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24

P

2abb; donc
deux équations préce-

fa valeur ; l'on aura

2422 d'où l'on tire aa

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- xx, ou xx-aa. yy: 2a.p, c'est-à-dire, DL × LD,

so.

LI: Dd. PQ:

K

PROPOSITION IV.

Theorême.

FIG. 51. 16. LA mème hyperbole IDH, dont l'axe déterminé eft Dd, le centre K, le diametre ou l'axe conjugué RV perpendicu laire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mife fur un Plan. Je dis qu'ayant fait au fommet D, DB & DE paralleles, & égales à KR, ou KV; les lignes KB, KE menées du centre K par les points B, E, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole, & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini.

DEMONSTRATION.

&

AYANT mené du fommet D, les droites DG, DO paralleles à KB, & à KE; du point I, les droites IM,IP paralleles aux mêmes KE, KB, & prolongé IL de part & d'autre, en forte qu'elle rencontre KB & KE en C, & F, nommé, comme dans la propofition précedente, les données DK, a; DB, ou DE, b; KO, ou GD, ou KG, ou OD, qui font toutes égales, c; les indéterminées KL, x; LI, ou LH,y; IP ou MK, f; IM, ou PK, %: Les triangles femblables KDB, KLC, donnent KD(a). DB (b) :: KL (x). LC; donc IC=y&IF=bx +y: car puifque (conft.) DB DE, LC fera LF; & puifque ( no. 4. ) LI — LH, IC sera =HF. De plus, les triangles femblables DBG, ICM, & DEO, IFP donnent, b (DB).. c (DG) :: by (IC). Z (IM), & b ( DE ). c ( DO) :: bx+y (IF). S (IP), d'où l'on tire ces deux équations bz = bcx — cy, & bf. bex+cy: mais l'on a par la Propofition précedente xx চর্চ ; c'eft pourquoi fi on fait évanouir x & y, par le moyen de ces trois équations, l'on aura celle-ci 「༢=¢¢:

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aayy

=

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