ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre; la ligne VKR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'ab. cisse ou la coupée ; LI ou LH, l'ordonnée ou l'appliquée à l'axe Dd.

Il peut arriver un cas où la Section est un cercle, quoique le Plan coupant ne soit point parallele à la base du Cone: mais cela ne fait rien à notre dessein.

FIG.50. 7. La Section conique IDH, est appellée hyperbole, lorf. que le Plan coupant EDF, coupe aussi la superficie conique oppofée, & y forme une autre hyperbole edf, opposée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & femblable; Dd est nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles opposées ; D, & d, le fommet de l'axe Dd; DL, l'abciffe, ou la coupée; LI, ou LH, l'appliquée; ou l'ordonnée; le point K milieu de Dd, le centre.

FIG.48.

:

PROPOSITION I.
Theorême.

8. E N. fuppofant les mêmes choses que l'on a fupposées dans
la Figure où la courbe IDH est une parabole; & outre cela,
fi on mene DO parallele à BC, ou à MN; si on prend AP
=DO, & qu'on mene PQ parallele à DO, ou à MN.
Je dis que DL x PQ=LI*=LH2.

Puisque le Plan coupant EDF est (no. 5.) parallele à AC, AP = DO fera = LN; & ayant nommé les données A0, b; DO, ou AP, ou LN, c; PQ, p; & les inconnues DL, x; & LI, y..

Il faut prouver que px (PQ x DL)=yy(LI).
DE'MONSTRATΙΟ Ν.

LEs triangles semblables AOD, DLM, donnent AO
(b). O D (c) :: DL (x). LM = : Or (no. 4.), & par
la proprieté du cercle (LM × LN)=(LI)=yy:

mais la ressemblance des triangles AOD, APQ donne b (AO).c(OD) :: c (AP). p (PQ); donc ce = bp. Mettant donc bp en la place de ce dans la premiere équation, l'on aura px =yy. C. Q F. D.

9. LA ligne PQ=p, eft appellée le paramétre de l'axe F 16.48. de la parabole.

PROPOSITION. II.

10. EN supposant les mêmes choses que dans la Figure où FIG. 49. la courbe IDH est une ellipse ; & outre cela si l'on divise Dd par le milieu en K, & si l'on mene SKT parallele à MN, & VKR parallele à HI ; RV, sera la commune Section de l'ellipse, & d'un cercle SRTV, dont le diametre est ST, & qui est coupé dans la fuperficie Conique par un Plan parallele à la base du Conc, ou au Plan du cercle MINH, puisque H.I est (no. 4.) la commune Section de l'ellipse, & du cercle MINH. De forte que V & R feront dans la circonference du cercle SRTV, & dans celle de l'ellipse. Cela posé, je dis que DL x Ld. LI :: DK'. KR.

Ayant nommé les données DK, ou Kd, a; SK, g; KT, f; KV, ou KR, b; & les indéterminées KL, x; LI, ou LH, y; DL sera a-x, & dL, a+x.

Il faut démontrer que aa - xx (DLxLd). yy (LI') :: aa (DK'). bb (KR2).

DEMONSTRATION.

LEs triangles semblables dKT, dLN, & KDS, LDM, donnent dK (a). KT (f): :dL(a+x). LN

af+fx

a

ag-gx

& KD (a). KS (g) :: LD (a-x) LM =

a

donc par la proprieté du cercle afs afgx

+ afgx-fgx

aa

(LNxLM)=yy (LI2), qui se réduit à afg - fgxx

aa

=yy:

mais fg = T K × KS = (par la proprieté du cercle) KR2=bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation pré

cedente pour fg sa valeur bb, l'on aura

aayy

aabb - bbxx

aa

=yy,

ou aa-xx= d'où l'on tire aa - xx.yy :: aa.bb.

C. Q. F. D.

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit trouvé cette

équation 2ax-xx = xx = ayy

66

PROPOSITION III.

Theorême.

FIG.50. 11. EN supposant les mêmes choses que l'on a supposées dans la Figure où la courbe IDH est une hyperbole, & outre cela, si l'on divise Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS parallele à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL x Ld. LI2:: DK2. KR2.

Ayant nommé les données KD, a; KR, b; KS, g; KT, f; & les indéterminées KL, x; LI, ou Iн,у; LD fera, x-a; & Ld, x + a.

DEMONSTRAΤΙΟΝ.

LEs triangles semblables dKT, dLN, & DKS, DLM, donnent, dK (a). KT (f) :: dL (x+a). LN=

fx + af

a

& DK (a). KS (g) :: DL (x-a).LM = 8x-4g, donc

(LI). L'on a aussi par la construction g (KS).b (KR) :: b. (KR). f (KT); donc gf=bb; c'est pourquoi si l'on met dans l'équation précedente, en la place de gf sa va

leur bb, l'on aura

bbxx

aa

aabb

=yy, ou xx — aa = d'où l'on tire xx-aa. yy :: aa. bb. C. Q. F. D.

aayy
bb

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit eu cette équa

tion 2ax+xx =

aayy

bb

DEFINITION.

:

12. LA ligne VKR double de KR menée par K paral- F1G.493

lele à IH, est appellée l'axe conjugué à l'axe Dd.

13. Dans l'ellipfe & dans l'hyperbole, la troisième proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, est appellée le parametre de celui qui occupe le premier lieu dans la proportion.

14. Suivant cette Définition, il est aisé de déterminer le parametre de l'axe Dd dans l'ellipfe, & dans l'hyperbole: car il n'y a qu'à prendre DP=2KT; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en Q, fera le parametre qu'on cherche: car, ayant nommé la ligne PQ, p; les triangles semblables DKS, DPQ, donnent a (DK). g (KS) :: 2f (DP, ou 2KT). p (PQ); donc pa=2fg: mais (n°. 11, ) fg=bb; donc pa = 266, d'où l'on tire a. b :: 2b. p, ou 2a. 26 :: 26. p, c'est-à-dire Dd. RV :: RV. PQ.

donc

aa 66

24

15. Puisque (no. 14.) a. b :: 26.p:: 6. p; donc aa. bb :: a. p :: 2a. p; donc aap = 2abb; c'est pourquoi, si l'on met dans les deux équations précedentes (no. 10, & 11,) au lieu de sa valeur ; l'on aura 24; d'où l'on tire aa

aa-XX=

2 ayy

& xx aa =

aa
66

xx, ou xx - aa. yy :: 2a. p, c'est-à-dire, DL x LD LI: Dd. PQ.

K

PROPOSITION IV.
Theorême.

FIG. 51. 16. LA mème hyperbole IDH, dont l'axe déterminé est Dd,

le centre K, le diametre ou l'axe conjugué RV perpendiculaire à Dd, une ordonnée IL parallele à RV, étant mise fur un Plan. Je dis qu'ayant fait au sommet D, DB & DE paralleles, & égales à KR, ou KV; les lignes KB, KE menées du centre K par les points B, E, & indéfiniment prolongées, ne rencontreront jamais l'hyperbole, & qu'elles s'en approcheront de plus en plus à l'infini.

DEMONSTRATION.

AYANT mené du sommet D, les droites DG, DO paralleles à KB, & à KE; du point I, les droites IM, IP paralleles aux mêmes KE, KB, & prolongé IL de part & d'autre, en forte qu'elle rencontre KB & KE en C, & F, & nommé, comme dans la proposition précedente, les données DK, a; DB, ou DE, b; KÔ, ou GD, ou KG, ou OD, qui font toutes égales, c; les indéterminées KL, *; LI, ou LH, y; IP ou MK, S; IM, ou PK, Z:

bx

Les triangles semblables KDB, KLC, donnent KD (a). DB (b) :: KL (x). LC =; donc IC=−y & IF= +y: car puisque (conft.) DB =DE, LC fera = LF; & puisque (n°. 4.) LI = LH, IC sera =HF. De plus, les triangles semblables DBG, ICM, & DEO, IFP donnent, b (DB).. c (DG) :: — y (IC). (IM), & b (DE). c (DO)::+y(IF).∫(IP), d'où l'on tire ces deux équations bz=b-cy, & bf =+ cy: mais l'on a par la Proposition précedente xx c'est pourquoi fi on fait évanouir x & y, par le moyen de ces trois équations, l'on aura celle-ci fz=ic :

bex

-aa=

aayy

;