substituant les valeurs de xx & yy dans D, on aura aaff + 2aafz+aazz X bb 4CC - aabb= aa X bbff-2bbfz+bbzz 4CC divisant tout par aabb après avoir multiplié par 4cc on aura +22+-4cc= =1/-2/2+2 qui se réduit à 4/2 = 4cc ou sz= cc; c'est-à-dire, PI × IM=KG x GD, qui fait voir que s, ou PI, ou MK croissant, z ou MI diminue; ce qui peut aller à l'infini. Et comme sz, ou PI x IM, doit toujours être = KG x GD; il suit que quelque grande que l'on suppose s, ou PI, ou KM, il faut que MI ait encore quelque longueur; & partant KM ne rencontrera jamais l'hyperbole IDH. C. Q. F. D. DEFINITION. Les lignes KC, & KF sont nommées asymptes de l'hyperbole. COROLLAIRE. IL est clair que tous les parallelogrammes, comme : KGDO, en quelqu'endroit de l'hyperbole que l'on prenne le point I. PROPOSITION V. Theorême. FIG. 52. 17. SOIT AB une fuperficie cylindrique coupée par un Plan AB qui passe par l'axe du cylindre. Je dis que si l'on coupe la fuperficie cylindrique par un autre Plan dIDHd perpendiculaire au Plan AB, & incliné à l'axe du cylindre, la commune Section dIDHd de ce Plan, & de la superficie cylindrique, fera une ellipse. DEMONSTRAΤΙΟΝ. AYANT divisé Dd qui est la commune Section des Plans AB,&dIDHd par milieu en K, & pris librement un point Z sur la même Dd; si l'on suppose la superficie cylindrique coupée par deux Plans paralleles entr'eux, & perpendiculaires à l'axe du cylindre, qui passent par les points K & L, les communes Sections SVTR, MHNI de ces deux Plans, avec la superficie cylindrique, feront deux cercles dont les communes Sections VKR, HLI, avec le Plan dIDHd, feront perpendiculaires à Dd, à ST, & à MN; & dont les communes Sections ST, MN, avec le Plan AB, font les diametres ; d'où il suit que KV=KR, & LH=LI,& que le point K qui divise Dd par le milieu; divise de même ST; & partant le point K est le centre du cercle SVT. Ayant donc nommé les données KD, ou Kd, a; SK, ou KT, ou KR, ou KV, b; & les indéterminées KL,x; LI, y; DL sera a+x, & Lda — х. L cause du cercle MIN, ML × LN = LI2, c'est-à-dire en aayy bb. aabb bbxx aa ou aa = yy, - xx ; & comme cette équation est la même que la précedente (no. 10). Il suit que la courbe dIDHd, est une ellipfe. C. Q. F. D. PROPOSITION VI. Theorême. 18. S I les bafes des fuperficies coniques; & par confequent les FIG. 48, En donnant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a Soit premierement le Plan coupant EDF parallele à AC. Il faut prouver que la courbe IDH, est une parabole du même genre que la courbe 1MH. DEMONSTRATION. L'ON = b N trouvera, comme on a fait (n°.8.) ZM P CPxP P LN = c : mais par la proprieté de la courbe IMΗ, P LI, c'est-à-dire, en termes Algebriques, CACPAP m P=y", qui est une équation à une parabole du mê me genre que la courbe IMH, puisque l'inconnue y, dont l'exposant est plus grand que celui de x, est élevée à la même puissance que LI=y, dans l'équation à la courbe IMH. C. Q. F. D. Ce sera la même Démonstration pour l'ellipfe & pour l'hyperbole, & pour la Section du cylindre. Ma De la Hire qui est le seul que je sçache qui a parlé de ces courbes, les appelle cercles du second, troisième, quatrième, cinquiéme genre, &c. m P Si dans l'équation précedente LITM = LM2 × LNa3, on fait p = 2, & q = 1, ou p= 1, &q=2; m=p+q sera =3, & l'équation deviendra LI3 = LM2 × LN, ou LI = LM × L2, & la courbe IMH, fera un cercle du second genre. 3 Dans la même supposition de p= 2, &q=1, l'équa m 3 tion =y", devient =y', qui est du même 6P bb degré que celle de la courbe IMH, & qui appartient par consequent à une parabole du second genre, qu'on ap pelle feconde parabole cubique. CCPXP Si p= 1, & q = 2, l'équation =yTM deviendra cx =y', qui se rapporte encore à une parabole du se cond genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en est ainsi des autres. 19. ON détermineroit avec la même facilité la nature, & le genre de la courbe IDH, dans le Cone, & dans le Cylindre ; fi la courbe IMH, dont le Plan est parallele à la base BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Et en general, la nature de la cour |