bz = bcx-cy bf= bcx + cy A abz-bcx-acy B abf=bcx+acy) acy = bcx — abz = abf— bcx= acy div. par b. cx-az= af- cx, ou 2cx=af+az, ou Cx, donc XX aaff+2aafz+aazz ሓርር D - aabb = af +az 26 abf-acy de B on a x= E bc donc joignant C & E on a Div. par a & mulc. par 2c & bc, on a tranfp. -acy abf=acy bc 2cy = bf — bz ou - bf - bz y= donc 20 bbff— 2bbfz →→bbzz 3y= 400 substituant les valeurs de xx & yy dans D, on aura aass + 2aasz + aazz X bb 4CC 4CC divifant tout par aabb après avoir multiplié par 4cc on aura S+ 2⁄2+z2—4cc = ss — 2f2 + 22 qui fe réduit à 4s1⁄2 =4cc ou fz = cc; c'est-à-dire, PI x IM=KG × GĎ, qui fait voir que f, ou PI, ou MK croiffant, ou MI diminue; ce qui peut aller à l'infini. Et comme s, ou PIX IM, doit toujours être = KG x GD; il fuit que quelque grande que l'on fuppofe /, ou PI, ou KM, il faut que MI ait encore quelque longueur; & partant KM ne rencontrera jamais l'hyperbole IDH. C. Q. F. D. aa X bbff—2bbfz+bbzz DEFINITION. LEs lignes KC, & KF font nommées asymptes de l'hyperbole. COROLLAIRE. IL eft clair que tous les parallelogrammes, comme KGDO, en quelqu'endroit de l'hyperbole que l'on prenne le point I. PROPOSITION V. Theorême. FIG. 52. 17. SOIT AB une fuperficie cylindrique coupée par un Plan AB qui passe par l'axe du cylindre. Je dis que fi l'on coupe la fuperficie cylindrique par un autre Plan dIDÍd perpendiculaire au Plan AB, & incliné à l'axe du cylindre, la commune Section dIDHd de ce Plan, & de la fuperficie cylindrique, fera une ellipfe. DE'MONSTRATION. AYANT divifé Dd qui eft la commune Section des Plans AB,&dIDHd par milieu en K, & pris librement un point I fur la même Dd; fi l'on fuppofe la fuperficie cylindrique coupée par deux Plans paralleles entr'eux, & perpendiculaires à l'axe du cylindre, qui paffent par les points K&L, les communes Sections SVTR, MHNI de ces deux Plans, avec la fuperficie cylindrique, feront deux cercles dont les communes Sections VKR, HLI, avec le Plan dIDHd, feront perpendiculaires à Dd, à ST, & à MN; & dont les communes Sections ST, MN, avec le Plan AB, font les diametres ; d'où il fuit que KV—KR, & LH=LI,& que le point K qui divife Dd par le milieu, divife de même ST; & partant le point K eft le centre du cercle SVT. Ayant donc nommé les données KD, ou Kd, a ; SK; ou KT, ou KR, ou KV, b; & les indéterminées KL ̧x; LI, y; DL fera a+x, & Ld a — x. a Les triangles semblables DKS, DLM donnent DK ab + bx ( a ). KS (b) :: DL ( a + x ). LM= Pareillement les triangles femblables dKT, dLN donnent dK (a). KT ( b ) :: dL (a—x). LN = Mais à ab bx a caufe du cercle MIN, ML x LN — LI', c'est-à-dire en = aabb bbxx termes Algebriques yy, ou aa - XX aayy bb. j & comme cette équation eft la même que la précedente (no. 10 ). Il fuit que la courbe dIDHd, eft une ellipfe. est C. Q. F. D. PROPOSITION VI. Theorême. 18. SI les bafes des fuperficies coniques; & par confequent les FIG. 48, courbes IMH, qui font les communes Sections des mêmes fu- 49, 50. perficies coniques par des Plans paralleles aux bafes, ont cette proprieté qu'une puissance quelconque de leurs appliquées LH, ou LI, foit égale au produit de deux puiffances de LM, & LN, telles que la fomme de leurs expofans, foit à l'expofant de la puiffance de LI, c'est-à-dire par exemple, que LIP+9=LM3 × LN, ou LM2 x LN3. Je dis que les Sections coniques IDH, telles que nous les avons définies (n°. 5, 6, & 7.) font de même genre que les courbes IMH. = aa En donnant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a données (n°. 8, 10, & 11); & faisant p+q=m, p & q, fignifient tels nombres qu'on voudra entiers ou rompus. Soit premierement le Plan coupant EDF parallele à AC. Il faut prouver que la courbe IDH, eft une parabole du même genre que la courbe IMH. DE'MONSTRATION. L'ON trouvera, comme on a fait ( no. 8.) LM = 4 - S b LN DO a été nommée donc CPxP bP LN-c: mais par la proprieté de la courbe IMH, LM2 × LN2=LI", c'est-à-dire, en termes Algebriques, donc LM P m =y ̈, qui est une équation à une parabole du même genre que la courbe IMH, puifque l'inconnue y, dont l'expofant eft plus grand que celui de x, eft élevée à la même puiffance que LI=y, dans l'équation à la courbe IMH. C. Q. F. D. Ce fera la même Démonstration pour l'ellipfe & pour l'hyperbole, & pour la Section du cylindre. Mr De la Hire qui eft le feul que je fçache qui a parlé de ces courbes, les appelle cercles du fecond, troisième, quatrième, cinquième genre, &c. = X 7 Si dans l'équation précedente ZITM LM2 × LN1, on fait p=2, &q=1, ou p=1, &q=2; m = p + q fera = 3, & l'équation deviendra Zľ3 — LM2 × LN ou LI =LM × LN, & la courbe IMH, fera un cercle du fecond genre. Dans la même fuppofition de p=2, &q=1, l'équaCACP P X =y", devient c'xx bp bb bp P tion =y', qui eft du même degré que celle de la courbe IMH, & qui appartient par confequent à une parabole du fecond genre, qu'on appelle feconde parabole cubique. C9CPxP 6P c3x b =y', qui fe rapporte encore à une parabole du second genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en eft ainfi des autres. m Si p= 1, &q= 2, l'équation =yTM deviendra REMARQUE. 19. ON détermineroit avec la même facilité la nature, & le genre de la courbe IDH, dans le Cone, & dans le Cylindre; fi la courbe IMH, dont le Plan est parallele à la base BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Et en general, la nature de la cour |