be IMH étant donnée, on déterminera aifément la nature de la courbe IDH; & au contraire. De forte qu'il n'y a point de courbe que l'on ne puiffe confiderer comme la Section d'une efpece de Cone ou de Cylindre, & déterminer par fon moyen la nature de la courbe IMH parallele à la bafe de ce Cone, & de ce Cylindre, ou bien qu'il n'y a point de courbe, que l'on ne puif fe fuppofer être la base d'un Cone, ou d'un Cylindre, & déterminer par fon moyen la nature des Sections de ce Cone, & de ce Cylindre. De maniere qu'on peut avoir non feulement une infinité de genres de Sections coniques, mais encore une infinité d'efpeces dans chaque genre, excepté dans le premier, qui ne renferme que quatre courbes, comme on a déja remarqué.

On s'eft contenté de démontrer dans le Cone, la principale proprieté des Sections coniques du premier genre, attendu qu'on en va démontrer dans les trois Sections fuivantes, toutes les proprietez neceffaires pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie , en les décrivant par des points trouvez fur des Plans. On ne les a même confiderées dans le Cone que parcequ'elles y ont pris leur origine, & leur nom, pour faire voir que celles qu'on décrit fur des Plans, font précisément les mêmes que celles qu'on coupe dans le Cone; & qu'on peut par confequent leur donner les mêmes noms.

FIG. 53. X.

SECTION

V.

Où l'on démontre les principales proprietez de la
Parabole décrite par des points trouvez
fur un Plan.

PROPOSITION I.

Theorême.

U

NE ligne droite DFP, & deux points fixes D &F fur cette ligne, étant donnez de pofition fur un Plan. Je dis que fi l'on mene librement la ligne MPm, perpendiculaire à DFP; & fi du centre F, & du rayon DP, l'on décrit un cercle; il coupera la perpendiculaire MPm, en deux points M&m, qui feront à une Parabole.

DE'MONSTRATION.

IL eft clair qu'ayant divifé DF par le milieu en A, le cercle décrit du centre F, & du rayon DA, touchera en A, la perpendiculaire menée par le point A, & ne rencontrera point celles qui feroient menées au- deffus de A par raport à F: mais qu'il coupera en deux points toutes celles qui feront menées au-deffous de 4, comme MPm; d'où il fuit que la courbe qui paffe par les points M, m trouvez, comme on vient de dire, paffe auffi par le point A.

Ayant mené FM, & nommé les données, ou conftantes AF, ou AD, a; & les indéterminées, ou variables AP, x; PM, y; FP fera x—a, ou a — x; & FM, ou DP, x+a.

Le triangle rectangle FPM donne xx —2ax + aa + yyaa2ax+xx, qui se réduit à 4ax=yy, ou (en faifant 4a=p) px=yy. Or comme cette équation eft la même celle de l'article 9. n°. 8; 9. n°. 8; il fuit que la courbe

que

MAm, eft une parabole, dont le parametre est p : =4AF=2FD. C. Q. F. D.

L'équation px=yy peut être réfolue par le cercle. Car FIG. 54. ayant mené une ligne AB indéfinie, fi vous prenez AD = 1; & que d'un point quelconque C pris fur AB, & du rayon CA, vous décriviez le cercle AEG, qu'enfin du point D, vous meniez la perpendiculaire DE, cette ligne DE=y&DB=x. Car par la proprieté du cercle AD

2

= 4a

× DB=DE. Or AD=p. Donc AD x DB=px, &

- 2.

ED= yy. C'est-à-dire que DB=x & ED=y. Mais comme le rayon CA du cercle peut augmenter à l'infini, x & y augmenteront à l'infini; & x augmentant, y aug

mentera.

COROLLAIRE I.

1. IL est évident que 2FD. PM :: PM. AP: car l'équa- F 16.53. tion 4ax=yy, étant réduite en analogie, donne 4a: y :: y. x.

COROLLAIRE

I I.

2. IL eft clair que fi l'on mene par D la ligne ED paral- FIG. 53. lele à PM, & par les points M,m qui font communs à la parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites ME, me paralleles à PD, elles feront égales entr'elles, à PD, & à FM, & que les parties PM, Pm de la perpendiculaire MPm, feront auffi égales.

DEFINIT

FINITION S.

3.

LA ligne AP eft nommée l'axe de la parabole; A, FIG. 53. le fommet de l'axe, ou de la parabole; PM, ou Pm l'appliquée ou l'ordonnée ; AP, l'abciffe ou la coupée; F, le foyer; D, le point generateur; Ee, la ligne generatrice; AB, quadruple de AF, ou de AD, le parametre de

l'axe.

L

I I I.

COROLLAIRE

4. L'ON voit par l'équation précedente 44x=yy que x croiffant y croît auffi; & qu'ainfi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de fon axe à mesure que le point P s'éloigne du fommet A, & que cela peut aller à l'in fini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

COROLLAIRE IV.

5.D'où il fuit que les lignes comme EM meneés paralleles à AP paffent au-dedans de la parabole étant prolongées vers R, & ne la rencontrent qu'en un feul point M.

COROLLAIRE

V.

6. SI dans l'équation 4x=yy, l'on fait xa, le point P tombera en F, & l'on aura 4aa=yy; donc 2a = y; c'est-à-dire que l'appliquée FO qui part du foyer est égale à la moitié du parametre, & fi l'on fait x=4a, l'on aura 16aayy, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP, PM feront chacune égale au parametre.

&

COROLLAIRE

V I..

7. IL eft manifeste que la quantité conftante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimenfion dans un des membres de l'équation, eft l'expreffion du parametre de l'axe de la parabole, lorfque le quarré de l'autre indéterminée eft feul dans l'autre membre: par exemple dans cette équation = yy, eft l'expreffion du parametre de l'axe de la parabole dont l'abciffe eft x; & l'appliquée y.

44x