PROPOSITION Theorême. 8. LES quarrez des ordonnées PM, QN font entr'eux FIG. 53. comme les abciffes correfpondantes AP, AQ II. Ayant nommé comme dans la Propofition précedente AB, 4a; AP, x; PM, y; & AQ, f; QN z Il faut prouver que PM2 (yy). Q N2 (z) :: AP (x). Aen. DE'MONSTRATION. L'On a par la Propofition précedente 4ax = yŷ, & 4a=2; donc yy, zz:: 4ax. 4af:: x. f. C. Q. F. D. PROPOSITION III. Theorême. 9. & LES mèmes chofes étant toujours fuppofées. Je dis que, fi d'un point quelconque m pris fur la parabole, on mene me parallele à PA, qui rencontrera la generatrice en e, le fommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em en C, le cercle mle décrit fur le diametre me coupera AC par le milieu en I. par Ayant nommé la donnée AD, ou eC, a; & les indéterminées AP, ou Cm, x; Pm, ou AC, y ; & CI, f. I Il faut prouver que C1 (S) = — AC (). 2 DEMONSTRATION. L'ON a par la premiere propofition 4ax = yy, & par la proprieté du cercle ax (eC x Cm ) = ƒƒ (CI3), ou 4ax = 4ff; donc y = 2; ou — y = f. C. Q. F. D. I PROPOSITION IV. FIG. 53. 10. EN fuppofant encore les mèmes choses, si l'on prend AG, menée par le fommet A parallele aux appliquées PM, pour l'axe de la parabole, & GM parallele à AP, pour l'appliquée, en nommant AG ou PM, x; GM, ou AP, y; & le parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF x GM = AG'. DE'MONSTRATION. L'ON a par la premiere Propofition 4ạy = xx. C. Q. F. D. L'on n'a mis ici cette Propofition que pour faire voir qu'il eft indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abciffe, & l'autre pour l'appliquée; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques, où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3. no. 16. j le parallelogramme des coordonnées. PROPOSITION V. Problême. 11. UN E équation à la parabole, bx = yy, étant donnée, décrire la parabole, lorsque les coordonnées font perpendiculaires l'une à l'autre. b, étant (no. 7.) le parametre; x, l'abcisse; & ·y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la première Proposition. Soit A le commencement de x, qui va vers P; & de y qui va vers B, ayant pris AB=b, & prolongé AP du côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à 6 I AB, & l'on décrira une parabole AM par la premiere Propofition qui fatisfera au Problême, & dont A fera le fommet, F le foyer, & D le point generateur. DE'MONSTRATION. AYANT mené une ordonnée quelconque PM; AF I I étant, — b; AP, x; PM, y ; FP, sera x — — b ou I 1 b — x ; & FM — = gle rectangle FPM donnera xx + 1 bx PD (n°. 2.), x+ 16 I 2 b. Et le trian bx + 16 bbyy qui se réduit à bx = yy. C. Q. F. D. REMARQUE. - 12. SI l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP, x ; & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax — aa =yy ; & fi l'on avoit nommé FP, x; & DF, a ; l'on auroit trouvé 2ax +aa = yy. Ce qui fait voir que lorsqu'une équation à la parabole plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au fommet de l'axe. PROPOSITION V I. Problême. XI. UN E parabole AM, dont l'axe eft AP, le fommet A, FIG. 55. le foyer F, le point gencrateur D, & la ligne generatrice EDH, étant donnée. On propofe de mener d'un point quelconque M, donné fur la parabole, la tangente MT. Ayant mené par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP, & joint les points F, H; la ligne. MOT menée du point M par le point O milieu de FH, fera la tangente cherchée. DE'MONSTRATION. PUISQUE (Art. 10. n°. 1.) MF MH, & que FH eft coupée par le milieu en O; la ligne MO eft perpendiculaire à FH; c'eft pourquoi fi l'on prend fur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque, d'où l'on mene GF, & GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH fera ifofcele : mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI; c'eft pourquoi GF furpaffe auffi GI; & par confequent le point G eft hors de la parabole, & partant MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la touche. C. Q. F. D. On peut ajouter pour confirmer cette Démonftration, que fi d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole, on mene RF du point R au foyer, & RH pa-. rallele à AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H, la ligne RH furpaffera toujours RF : car ayant mené MF, elle fera (Art. 10, no. 2. ) = MH: mais RMMF furpaffent RF, & partant RH furpaf.. fe RF; c'eft pourquoi puifque GF furpaffe GI, le point G eft hors de la parabole. On ne peut pas dire que le point G foit fur la parabole: car GF (GH) feroit=GI. 92 COROLLAIRE I. 1. IL eft elair que MO prolongée rencontre l'axe AP auffi prolongé en T: car l'angle FOT est droit, & l'angle OFT aigu. COROLLAIRE I I. 2. SI l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de M vers S; l'angle RMS fera égal à l'angle OMFOMH. COROLLAIRE I I I. 3. D'où il fuit par les loix de la Catoptrique que fi le foyer F étoit un point lumineux, les rayons refléchis à la rencontre de la parabole feroient paralleles à l'axe; ou ce qui eft la même chofe, les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, se refléchiffant à la rencontre de la parabole, leurs refléchis pafferoient tous au foyer F. PROPOSITION VII. Theorême. 4. EN fuppofant la même chose que dans la Proposition précedente. Je dis que, fi l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en Q la partie de l'axe PQ, comprise entre le point Q, & l'ordonnée PM qui part du point M, fera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole. DE'MONSTRATION. A Caufe des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF font femblables & égaux, c'eft pourquoi PQ DF=( Prop. 1.) à la moitié du para. metre de l'axe. DEFINITION. LA ligne PT eft nommée foutangente, MQ perpendiculaire ; & PQ, fouperpendiculaire, ou founormale. S. PROPOSITION VIII. Theorême. 6. LES chofes demeurant dans le mème état que dans la Propofition précedente. Je dis que la foutangente PT eft double de l'abciffe AP, comprise entre le fammet A & l'ordonnée PM qui part du point touchant M.. Ayant nommé comme dans la premiere Propofition les données AF, ou AD, à; PQ (no. 5.) za; & les variables AP, x; PM, y; PT, t. Il faut prouver que t=2x. |