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8. LES

PROPOSITION II.

Theorême.

quarrez des ordonnées PM, QN font entr'eux FIG. 53. comme les abciffes correfpondantes AP, AQ

Ayant nommé comme dans la Propofition précedente AB, 4a; AP, x; PM, y; & AQ, S; QN z.

Il faut prouver que PM2 (y). Q N2 (z) :: AP(x). AQU.

DEMONSTRATION.

L'On a par la Propofition précedente 4ax = yy, & 4af22; donc yy. zz:: 4ax. 4af:: x. f. C. Q. F. D.

PROPOSITION

Theorême.

III.

9. LES mèmes chofes étant toujours fuppofées. Je dis que,
fi d'un point quelconque m pris fur la parabole, on mene me
parallele à PA, qui rencontrera la generatrice en e, & par
le fommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em
en C, le cercle mle décrit fur le diametre me coupera AC
par
le milieu en I.

Ayant nommé la donnée AD, ou eC, a ; & les indéterminées AP, ou Cm, x; Pm, ou AC, y; & CI, f.

I

AC

Il faut prouver que C1 (√) = — A© (—y )·

L'ON a par

2

DEMONSTRATION.

la premiere propofition 4ax =yy, & par

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la proprieté du cercle ax (eC × Cm) = ff (CI2), ou

I

4ax = 4ƒƒ; donc y = 2f; ou — y = f. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV.

Theorême.

FIG. 53. 10. EN fuppofant encore les mèmes chofes, fi l'on prend AG, menée par le fommet A parallele aux appliquées PM, pour l'axe de la parabole, & GM parallele à AP, pour l'appliquée, en nommant AG ou PM, x; GM, ou AP, y ; & le parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF x GM = AG'.

DEMONSTRATION.

L'ON a par

F. D.

a par la premiere Propofition 4ay = xx. C. Q.

L'on n'a mis ici cette Propofition que pour faire voir qu'il eft indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abciffe, & l'autre pour l'appliquée; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques, où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3. no. 16. j le parallelogramme des coordonnées.

II.

PROPOSITION V.

Problême.

étant don

UN E équation à la parabole, bx = yy, née, décrire la parabole, lorfque les coordonnées font perpendiculaires l'une à l'autre.

b, étant (no. 7.) le parametre; x, l'abciffe, & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la première Propofition.

Soit A le commencement de x, qui va vers P; & de y qui va vers B, ayant pris AB —b, & prolongé AP du côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à b

I

4

AB, & l'on décrira une parabole AM par la

premiere Propofition qui fatisfera au Problême, & dont A fera le fommet, F le foyer, & D le point generateur.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené une ordonnée quelconque PM; AF

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I

I

b; AP, x; PM, y; FP, sera x b, ου

I

x; & FM = PD ( n°. 2. ), x + - b. Et le trian

gle rectangle FPM donnera xx→→

I

2

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2

16

bx + — bb + yy qui se réduit à bx =yy. C. Q. F. D.

16

REMARQUE.

12. SI l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP, x ; & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax — aa =yy ; & fi l'on avoit nommé FP, x; & DF, a ; l'on auroit trouvé 2ax +aa = yy. Ce qui fait voir que lorfqu'une équation à la parabole a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au fommet de l'axe.

PROPOSITION VÍ.

Problême.

XI. UN E parabole AM, dont l'axe est AP, le fommet A, FIG.sso le foyer F, le point generateur D, & la ligne generatrice EDÍ, étant donnée. On propofe de mener d'un point quel-. conque M, donné fur la parabole, la tangente MT.

Ayant mené par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP, & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point M par le point O milieu de FH, fera la tangente cherchée.

DE'MONSTRATION.

PUISQUE (Art. 1o. n°. 2.) MF MH, & que FH eft coupée par le milieu en O; la ligne MO eft perpendiculaire à FH ; c'est pourquoi fi l'on prend fur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque, d'où l'on mene GF, & GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH fera ifofcele: mais à caufe de l'angle droit GIH, GH furpaffe GI; c'eft pourquoi GF furpasse auffi GI; & par confequent le point G eft hors de la parabole, & partant MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la touche. C. Q. F. D.

On peut ajouter pour confirmer cette Démonstration, que fi d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole, on mene RF du point R au foyer, & RH pa.. rallele à AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H, la ligne RH furpaffera toujours RF : car ayant mené MF, elle fera (Art. 10. no. 2.) MH: mais RM + MF furpaffent RF, & partant RH furpaf. fe RF; c'eft pourquoi puifque GF furpaffe GI, le point G eft hors de la parabole. On ne peut pas dire que le point G foit fur la parabole: car GF (=GH) seroit=GI. COROLLAIRE I.

I.

IL eft elair que MO prolongée rencontre l'axe AP auffi prolongé en T: car l'angle FOT eft droit, & l'angle OFT aigu.

2.

COROLLAIRE II.

SI l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de M vers S; l'angle RMS fera égal à l'angle

OMFOMH.

3.

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D'où il fuit par les loix de la Catoptrique que fi le foyer F étoit un point lumineux, les rayons refléchis à la rencontre de la parabole feroient paralleles à l'axe;

ou ce qui eft la même chofe, les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, fe refléchiffant à la rencontre de la parabole, leurs refléchis pafferoient tous au foyer F.

PROPOSITION

Theorême.

VII.

4. EN fuppofant la mème chofe que dans la Proposition précedente. Je dis que, fi l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en Q, la partie de l'axe PQ, comprife entre le point Q, & l'ordonnée PM qui part du point M, fera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

DE'MONSTRATION.

A Caufe des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF font femblables & égaux, c'est pourquoi PQ- DF=(Prop. 1.) à la moitié du para. metre de l'axe.

L

DEFINITION.

5. A ligne PT eft nommée foutangente, MQ perpendiculaire ; & PQ, fouperpendiculaire, ou founormale.

PROPOSITION VIII.

Theorême.

6. LES chofes demeurant dans le mème état que dans la Propofition précedente. Je dis que la foutangente PT eft double de l'abciffe AP, comprise entre le fammet A & l'ordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Propofition les données AF, ou AD, à; PQ (no. §.) za; & les variables AP, x; P M, y ; PT, t.

Il faut prouver que t=2x.

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