DE'MONSTRATION.

เ

L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT (n°. 4.) fera auffi droit; c'eft pourquoi 2a (QP). y (PM) :: y, t(PT); donc 2atyy: Mais ( Prop. 1.) 4ax=yy; donc at 4ax; & partant t=2x. C. Q. F. D.

"

7. Cette Propofition fournit un moyen aifé de mener une tangente à la parabole; car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait ATAP, la ligne MT fera la tangente cherchée.

PROPOSITION

Theorême.

FIG. 56. 8. UN E parabole AM dont AP eft l'axe ; A le sommet; F, le foyers D, le point generateur; DE, la ligne generatrice. Si par un point quelconque M pris fur la parabole, on mene (no. 7.) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la ligne LG parallele à la tangente MT. Je dis que la ligné MR menée par le point touchant M parallele à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O.

IX.

Ayant mené par les points Z, M, 0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en I, MP, oc, & GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou AD, a, le parametre de l'axe fera (Art. 10.) 4a=4AF; AP, x; PM; ou BI, ou SR, y, AC, m; BC, ou 10, J; CS, ou OR, Z; AB fera, m-f; AS, m+z; CP, ou QM, mx; & PT (n°. 6.), 2x.

a;

4

Il faut prouver que OGOL, ou ce qui revient au même OR 01, ou f=2.

=

ONS

LES triangles femblables (Conft.) TPM, ORG, OIL, donnent les deux Analogies fuivantes.

TP

yz

·TP (2x). PM (y) :: OR(z). RG = 22, &

23

TP(2x). PM (y) :: 01 (f). IL

donc SG

206

= y + 2, & BL = y = !: mais (Art. 1o. n°. 8.)

2x

2X

yf

2x

x (AP). m +z (AS) :: yy ( P M2 ). yy + 2yYz+YYZZ

;

4xx

́(SG1). & x ( AP). m-[(AB) :: yy (PM2). yy 2yys +yyss ( BL2 ), d'où l'on tire ces deux équations

2X

4xx

'A. myy yyz = xyy + 2xyyz→ xyyzz, &

2%

4XX

B. myy — yys = xyy — 2xyyƒ← xyy, & ôtant le pre

4XX

433

: donc OL=OG. C. Q. F. D.

mier membre de la feconde équation B du premier membre de la premiere A, & le fecond de la feconde du second de la premiere, l'on a yyz+yys = 2xyyz→ 2xyys

236

→ xyyzz — xyys, d'où l'on tire z=f, ou OR=01;

II peut arriver differens cas: car le point O s'éloignant de M, le point Z tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M: mais on le prouvera toujours de la même maniere que z=f, OG=OL; c'est pourquoi la Propofition eft generalement vraye.

DEFINITION S..

9. LA ligne MR parallele à l'axe AP est appellée FIG. 56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les GZ par le milieu en O; le point M, le fommet du diametre MR; MO,

M

l'abfciffe, ou coupée; OL, ou OG, l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre.

PROPOSITION X.
Theorême.

10.EN fuppofant les mèmes chofes que dans la Propofition précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou OG au diametre MR, est égal au rectangle de Labfciffe MO par 4MF, ou (Art. 10. no. 2.), ayant prolongé OM en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abscisse MO, t; l'ordonnée OL, ou OG, u; MF, ou MH, b; & les autres lignes comme dans la Propofition précedente.

Il faut prouver que 4btuu, (4MF × MO=0G2).

DE'MONSTRATION.

SI l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux équations A & B de la Propofition précedente, après avoir mis en la place de ; puifque aura 2myy — 2xyy →→ 2xyyzz

(Prop. préced.) z=s; l'on

=

+

4XX

ou zx=4mx-4xx, ou 4tx, en mettant pour = t m—x=PC=MO : mais le triangle rectangle ORG,

yyzz

ou OIL donne zz (OR2) + (RG2. Prop. préced.)

4xx

=uu (OG2, ou O Z2), qui devient 4tx + 4at = uu en mettant pour la valeur 4tx, & pour yy fa valeur ༢༢. (Prop. 1.) 4ax: mais xa PD=MF=MH=b; donc en fubftituant b en la place de xa dans l'équation précedente, elle deviendra 4bt=uu, ou 4MF × MO OG2. C. Q. F. D.

DEFINITION S.

11. LA ligne égale à 4b = 4MF

le

parametre du diametre MO.

= 4MH eft nommée

PROPOSITION XI.

Theorême.

12. UNE équation à la parabole ( ax = yy ) dont les coordonnées x &y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole.

Soit M le fommet du diametre MO, dont le parame- F1 G. 57. tre eft a, & l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faisant avec MO l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation eft ax=yy.

=

Ayant prolongé OM & pris MH = a = ( Prop. préced.) au quart du parametre du diametre MO, on menera par H la droite HE perpendiculaire à HO, qui fera (Prop. préced.) la ligne generatrice; & ayant fait l'angle KMF l'angle KMH, pris MF = MH & mené par F la ligne FD parallele à MO qui coupera la generatrice HE en D. Par la Propofition précedente, & par la fixiême, F fera le foyer; FD, l'axe; D le point generateur, & A milieu de FD le fommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Propofition.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft claire par la Propofition précedente, & par

la fixiême.

FIG. 58.

SECTION

VI

Où l'on démontre les principales propriete de l'Ellipfe décrite par des points trouvez fur un Plan.

PROPOSITION I

Theorême.

XII.

U

NE ligne droite AB, divifée par le milieu en C & deux points fixes F, G également diftans du milieu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de grandeur & de pofition ; fi l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre G & du rayon BH, l'on décrive deux cercles; ces deux cercles

couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB; puifque leurs demi diametres surpassent FH + HG. Et je dis que les points M&m, & tous ceux qui feront troude la même maniere, en prenant d'autres points H, feront à une Ellipfe dont C eft le centre, AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui eft double de la moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & GB.

༩༢.

DE'MONSTRATION.

D'UN des points M, trouvez comme on vient de dire, ayant abbaiffé la perpendiculaire MP, mené F M & GM, & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, c; & les indéterminées CP, x; PM, y; AP fera, a-x; PB,a+x; FP,c—x ou, x— c ; & PG,c+x.

Il eft clair par la defcription que FM+ MGA B =2a; puifque F M = AH, & MGHB; nommant donc la difference de F M, & MG, 2f; F M sera a — & MG, a + f. Cela pofé.

-S