dont la longueur n'est point déterminée: comme la ligne diculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre position.. : Les lignes données de grandeur & de position tout ensemble, font celles qui ne peuvent changer de situation, & dont la longueur est déterminée, de forte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir : comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois posé dans une situation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre position. Les lignes données de grandeur, & qui ne le font point de position, font celles dont la grandeur ne peut varier; quoique leur situation puisse changer, comme le demi diametre DB, qui demeure toujours de même grandeur en FIC. 2. quelque endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur font aussi appellées lignes connues ou lignes conftantes, & on les nomme par des lettres connues, a, b, c, d, &c. Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de position, sont celles qui en changeant de places, changent aussi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point H s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de position, sont aussi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues x, y, z, &c. 2. Lorsqu'on veut refoudre un Problême, on le doit con fiderer comme déja resolu, & ayant mené les lignes que l'on juge necessaires, l'on nommera celles qui sont connues par des lettres connues, & celles qui font inconnues par des lettres inconnues, & fans faire de distinction entre les quantitez connues & inconnues, on examinera les qualitez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes ; & ces deux expressions d'une même quantité étant égalées l'une à l'autre, donneront une équation qui resoudra le Problême, qui sera déterminé, si elle ne renferme qu'une seule lettre inconnue. Mais si elle renferme plusieurs lettres inconnues, il faut tâcher par le moyen des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équations que l'on aura employé de lettres inconnues, afin que les faisant évanouir, de la maniere qu'il est enseigné dans tous les livres d'Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une seule; cette équation étant reduire, s'il est necessaire, à ses plus simples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d'Algebre, donnera la solution du Problême qui sera encore déterminé. Si l'on ne peut trouver autant d'équations que l'on a employé de lettres inconnues, de forte qu'il reste au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Problême fera indéterminé, & aura une infinité de solutions. Enfin, si dans la derniere équation il restoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues, le Problême feroit encore indéterminé, mais il seroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point. Il est souvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il est déterminé ou indéterminé; auquel cas on sçait, si ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou si l'on n'en doit trouver qu'une seule : mais il arrive aussi quelquefois que cela n'est pas si facile à diftinguer, & c'est en ce cas qu'il faut tâcher de trouver autant d'équations qu'on a employé d'inconnues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Problême. On n'explique point plus au long ce principe; car tout ce Traité n'en est que l'application. On se contentera de faire ici quelques réflexions sur les équations qui ne contiennent qu'une seule, ou deux lettres inconnues, c'eftà-dire sur les équations déterminées, & fur les indéterminées. DES : : : 7: DES EQUATIONS DETERMINEʼES. 3.ON sçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines, qu'elle a de dimenfions dans le terme où elle est le plus élevée, que ces valeurs font vrayes, fausses, ou imaginaires; on ne dit pas qu'elles foient toutes d'une même espece dans une même équation: car dans une même équation il y en a quelquefois des trois especes, de vrayes, de faufses & d'imaginaires. Les racines vrayes ou positives sont celles qui font précedées du signe +: comme x =+a. Les racines fausses ou negatives sont celles qui font précedées du figne comme x=-a. Les racines faufles font d'un grand usage dans la Geometrie; car comme elles font autant réelles que les racines positives, elles servent à déterminer les positions des courbes autant que les positives, dont elles ne different qu'en ce que les positives devant être prises d'un côté d'un point ou d'une ligne, les fausses doivent être prises de l'autre, comme on verra dans la suite. Les racines imaginaires sont celles qui font sous un signe radical avec le signe, dont l'exposant est un nombre pair: comme x = √-ab; & comme la valeur de ces racines ne peut être exprimée, on les regarde comme nulles ou = 0; de forte que x==√ - ab doit être regardée comme x = 0. Dans toutes les équations où il n'y a que deux termes tous deux positifs, l'un connu & l'autre inconnu, fi l'exposant de l'inconnue est un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une positive & l'autre negative; toutes les autres feront imaginaires. Par exemple, de xx = aa, l'on tire x =+a, & x = a; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toujours xx = aa, puisque donne + auffi bien que + x +, & en general de x2 = a2 (p. fignifie un nombre pair quelconque) l'on tire x = + a: ce qui se prouve comme on vient de faire, en élevant l'un & l'autre membre à la puissance paire p; car l'on aura toujours x2 =+a2. B : Si l'un des termes est positif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue seront imaginaires: car on n'aura jamais le figne de - après avoir élevé une quantité negative à une puissance paire: par exemple - a élevé à une puissance paire p donnera toujours + a2, & jamais - ap. x=| Si l'exposant de l'inconnue est un nombre impair, l'inconnue n'aura qu'une racine réelle qui est positive, lorfque les deux termes des équations sont positifs ; negative lorsqu'un d'eux est negatif, toutes ses autres racines sont imaginaires : par exemple, de x3 = a', on tire x = a, & non pas a, & de x= =-a', on tire x=-a & non pas x = a; car le cube d'une grandeur positive est toujours positif, & celui d'une quantité negative est toujours negatif. Et en general de x=+a (q lignifie un nombre impair) on tire x=+a; de même, de x2= a2 on tire x=-a: cara élevé à une puissance impaire q donne + a2: &-a élevé à une puissance impaire q donne toujours - a2. 1 9 X On fera les mêmes raisonnemens sur les équations composées : par exemple xx = aa + bb donne x = + Vaa+bb, xx=aa-bb donne x=+Vaa-bb: mais en ce cas fi b furpasse a, les deux valeurs de feront imaginaires. xx=±ax+bb donne x=±a+v+aa+bb:car en transposant l'on aura xxax=bb; & ajoutant aa de part & d'autre pour rendre le premier membre quarré, l'on aura xxax+aa=aa+bb; donc en extrayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a x干 a=+√aa+bb, ou x=+a±√aabb. Il en est ainsi des autres. Mais il faut remarquer que si dans ce dernier exemple, & dans les semblables, bb a le signe de -, & que b surpasse a, la valeur de x sera imaginaire; car puisque la quantité aa - bb qui est sous le signe radical, est alors negative vaa-bb fera une quantité imaginaire ; & par confequent aussi + a + : : Vaa-bb: car une quantité imaginaire étant combinée par addition ou soustraction avec une quantité réelle, rend le tout imaginaire. 14. On connoît la nature d'un Problême déterminé P par le plus haut degré, ou ce qui est la même chose, par la plus haute puissance de l'inconnue, qui se trouve dans l'équation qui sert à le réfoudre, en supposant que cette équation soit réduite à fon expression la plus simple. De forte que lorsqu'en résolvant un Problême, on vient à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimension : com ab C me x => qui est une équation du premier degré, le Problême est appellé fimple. Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux dimensions : comme xx=ax+bb, qui est une équation du second degré, le Problême est nommé plan. Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois ou quatre dimensions, comme x'= aab, ou x x=ab, qui sont des équations du troisième & du quatriême degré, le Problême est nommé folide. Lorsqu'on vient à une équation où l'inconnue est élevée au-delà du 4o degré, le Problême est nomme lineaire. 5. Quand une équation déterminée a tous ses termes, le nombre en est plus grand de l'unité, que l'exposant de la plus haute puissance de la lettre inconnue qu'elle renferme. Ainfi une équation du second degré ne peut avoir que trois termes; une équation du troisiême degré, n'en peut avoir que quatre; une du quatriême, cinq; & ainsi des autres. Mais il y manque souvent quelqu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plusieurs, & quelquefois ils y manquent tous. Le premier terme d'une équation, est celui où l'inconnue est élevée à une puissance plus haute que dans tout autre terme. Le second, est celui où elle est moins élevée d'une dimension. Le troisiême, celui où elle est moins élevée de deux dimensions; & ainsi de suite. Le dernier, 'est celui où elle ne se trouve point du tout. |