72

x; & partant ·AB = 2a.

l'expression du quarré du demi diametre conjugué CD; &
partant CDV ap. Enfin dans léquation aa— x x —
my, aa exprime le quarré du demi diametre AC dont
les parties CP font nommées
Mais pour avoir l'expreffion du demi diametre DE con-
jugué au diametre AB, l'on fera m. n::aa. " & par,
tant aa=CD, & 2√ aa = DE. Et pour avoir l'ex-
preffion du parametre du diametre AB, l'on fera m. n :: 24.
2an, & cette quantité an fera l'expreffion cherchée.

i

m

TN

COROLLA FRE IX.

aayy

2

FIG. 58. 13. SI l'on nomme AP, x; BP sera, aa—x, & l'on aura (no. 5.) 2ax — xx (AP × PB). yy (PM'):: ad (AC). bb (CD'); donc 2ax-xx= =, qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Ellipfe, il fe trouve des feconds termes dans fon équation, & qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Ellipfe, lorfqu'elle renfermera deux quarrez inconnus, l'un defquels ou tous deux feront accompagnez de quelque quantité connue, & auront différens fignes dans les deux membres de l'équation, ou même figne dans le même membre, quelque mêlange de conftantes qu'il s'y rencontre, & pourvu que les deux incon, nues ne foient point multipliées l'une par l'autre.

COROLLAIRE

X.

aayy

14.SI dans l'équation à l'Ellipfe aa — xx —
2ax - xx = days, a=b, l'on aura aa-xx = yy ou
2ax — xx=yy; qui eft une équation au cercle, pourvû
que les coordonnées x & y faffent un angle droit: car
l'une & l'autre de ces deux équations donne AP × P B
= PM2 qui eft la principale propriété du cercle. D'où
l'on voit auffi que l'équation à l'Ellipfe ne différe de celle
du cercle, qu'en ce que l'un des quarrez inconnus eft
accompagné de quelque quantité connue dans l'équation

aayy

Երեւ >

οιι

à l'Ellipfe, & qu'ils en font tous deux délivrez dans l'équation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipfe dont les foyers font confondus avec le centre, & dont tous les diametres font par conféquent égaux entr'eux, & à leurs parametres.

Dans l'équation au cercle aaxxyy, les coordonnées ont leur origine au centre & dans celle-ci, 2ax -xxyy, l'origine des coordonnées n'est point au

centre.

PROPOSITION II.

Theorême.

15. LES mêmes choses que dans la première Propofition F16. 58. étant fuppofees. Je dis que l'appliquée FO au foyer F est égale à la moitié du parametre de l'axe AB.

Il faut prouver que FO= p.

SI dans l'équation aa — xx =

.

1 aa - CC

(CF), le point P tombera en F, & PM deviendra yyan } FO; & l'on aura aac- d'où l'on tire y

DE'MONSTRATION.

aa- CC

ayy

on fait x (CP)

re (Prop. 1.)(no. 6. ) } p. C. Q. F. D.

PROPOSITION III.
Problême.

16.LES deux axes conjuguez AB, DE d'une Ellipfe étant
donnez, trouver les foyers F, & G.

Soit du centre D, extrêmité de l'axe conjugué DE, & du rayon AC, décrit un cercle qui coupera AB en deux points F & G qui feront les foyers qu'il faloit trouver.

DE'MONSTRATION.

PAR la conftruction FD + DG — AB ; donc ( no. 2. )
F & G font les foyers. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV.

Problême.

FIG. 58.17.LE grand axe A B d'une Ellipfe & les foyers F & G étant donnez, déterminer l'axe conjugué à l'axe AB.

Soit du foyer F pour centre & pour rayon le demi axe AC décrit un cercle. Il coupera la perpendiculaire à A B menée par le centre C en deux points D & E, & DE fera l'axe conjugué à l'axe AB.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft la même que celle de la Proposition précé

dente.

PROPOSITION V.

Theorême.

le

FIG. 58. 18. SI l'on fait MQ perpendiculaire à D E. Je dis que rectangle des deux parties DQ, QE de l'axe DE faites par l'appliquée MQ, eft au quarre de MQ: comme DE' quarré de l'axe DE à AB' quarré de l'axe A B.~ ·

En laiffant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans fa premiere Propofition, CP, ou QM étant x; & PM, ou CQ,y; DQ fera, by; &Q E, b+y. Il faut démontrer que bb-yy, xx:; 4bb. 4aa,

DE'MONSTRATIO N.

EN reprenant l'équation de la premiére Propofition aa

aavy
66

xx , la multipliant par bb, la divifant par aa & transposant l'on aura bb-jyxx, d'où l'on tire cette -yy=

analogie bbyy. xx:: bb. aa :: 4bb. 4aa. DQ × QE. QM' :: DE'. "AB3. C. Q. F. D.

DEFINITION.

19.SI l'on fait 2b, 2a :: 2a. 2a que je nomme p; la ligne =p est appellée le parametre de l'axe DE.

COROLLAIRE.

2

20. b. a:: 2a, p, donne bp: = raa ou bbp = zaab, ou bb; c'eft pourquoi fi on met 2 en la place de bb 26 = dans l'équation précedente, l'on aura

aa

44

26xx

bb — yy = 26**

P

ou fi l'on fait, l'on aura bb —yy = mxx.

On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

PROPOSITION VI.

* Problême.

cyy

- XX

21.UN E équation à l'Ellipse ab étant donnée, décrire l'Ellipfe lorfque les coordonnées font un angle droit.

d

Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a, & b qui soit f; & par conféquent f ab; ainfi l'équation sera ff— xx=2. On fait ce changement parceque ab étant l'expreffion du quarré du demi diametre dont les parties font nommées expreffion doit auffi être un quarré.

x, cette

Soit préfentement C, l'origine des inconnues x, qui FIG. 58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit auffi être le centre de l'Ellipfe puifque les inconnues x & y n'ont point de fecond terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune=ƒ; AB fera le grand axe, fi c furpaffe d, le petit, fi c eft moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

=

il

foit fait c. d :: ff. «ff, & soit prise CD & CE chacune
égale à ff. Pour trouver CD=CE=√dff = n;
faut chercher une moyenne proportionnelle entre c & d,
qui fera nommée g: puis trouver à ces trois grandeurs c.
g. f. une quatriême proportionnelle qui fera n ===
Car puifque c. g. d. font en proportion continue, c. d::
cc. gg; mais ayant encore c.g::f. n. on aura cc. gg:: ff.nn.
donc r. d:: ff. nn. = ff. & par conféquent n = √dff;
DE sera (no. 12.) l'axe cherché. Ayant enfuite trouvé
les foyers F & G par la troifiême Propofition, on dé-
crira l'Ellipse par la premiere.

= df.

DE'MONSTRATION.

ELLE eft évidente par ce que l'on a démontré no. 12.
Prop. 1. & 3.

PROPOSITION VII.

Problême.

FIG. 62. XIII. UN E Ellipse ADBE, dont AB eft le grand axe; C, le centre; F & G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un point quelconque M donné fur l'Ellipfe mener la

tangente MT.

Ayant mené FM, & GM, prolongé F M, en I, en forte que MI MG, & mené GI. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point o milieu de GI fera la tangente cherchée.

DE'MONSTRATION.

D'UN point quelconque Z autre que M pris fur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI, puifque par la conftruction MG=MI,&10=OG, MO fera perpendiculaire à GI; c'est pourquoi le triangle GLI fera ifofcele; & partant FL+LI=LF + LG furpaffe FM+ MÍ = FM+MG, donc le point Z eft hors de l'Ellipfe. C. Q. F. D.