pour élever a+b à la quatriême puiffance, l'on écrira; A. a* ±a,b+aabb+ab+b✩. Si le binome est tout positif, tous les termes de la puiffance auront le figne + ; fi la feconde lettre eft négative, les termes où elle fe trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'expofant eft un nombre impair, auront le figne, & tous les autres le figne+, comme on voit dans la puiffance A. Il reste encore à trouver les coefficiens; en voici la Méthode. On donnera au fecond terme pour coefficient l'expofant du premier; on multipliera le coefficient du fecond par l'expofant que la premiere lettre a du binome a au même fecond & le produit divifé par 2, fera le coefficient du troifiême. De même, le coefficient du troifiême multiplié par l'expofant que la premiere lettre a au même troifiême; & le produit divifé par 3, fera le coefficient du quatriême, & ainfi de fuite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'expofant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divifé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme occupe dans l'ordre des termes de la puiffance, eft le coefficient du terme fuivant. Ainfi la 4e puiffance du binome a+b entierement formée eft, > ·a* +4a3b+6aabb+ 4ab3 + b4. Il en est ainfi des autres. S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome on multipliera le coefficient de chaque terme de la puif. fance par une puiffance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y eft élevée. Ainfi pour élever a+ 2b à la 3e puiffance, l'on y élevera premierement a+b, & l'on aura a3 + zaab + zabb + b3, l'on multipliera enfuite les coefficiens des termes où b fe rencontre par la puiffance de 2 égale à celle où b y eft élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera 3aab par 2, 3abb par 4, & b* par 8. & l'on aura a'+6aab+ 1 2abb +863, qui fera le cube de a + 26; , On peut auffi élever par les mêmes regles un binome quelconque p+q à une puiffance indéterminée m (m signifie un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif) qui fera, m- I m p + mp q+mx 33 A q + m x 222 des autres. m 2 I m 2 2 q+mx m 3 4 voit que la premiere lettre Р du binome a pour expofant dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'est pourquoi fi ce nombre entier fe trouve dans quelqu'un égal à m, l'expofant de p y fera <=0; =o; & par conféquent ?= 1, & ce terme fera le dernier de la puiffance m du binome p+q. Mais fi ce nombre entier ne fe trouve jamais =m, la puiffance m du binome p+q pourra être continuée à l'infini. I m 31. Le binome p + q élevé à la puiffance m, comme on vient de faire, peut fervir de formule generale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puiffance donnée. 3 m- ·4 4 X P q, &c. Où l'on 35 l'on de Soit par exemple 2ax-xx qu'il faut élever à la 3 puiffance. Ayant fuppofe 2ax=p, xx = q; & m = fubftituera à la place de p, de q, & de m, leurs valeurs 2ax, — xx, & 3 ; & en la place des puiflances de p & 9, les puiffances égales de leurs valeurs 2ax &- xx, & l'on aura 8ax3 — 1 2aàx++ 6ax-x pour la puiffance cherchée: car m devient 3 au quatriême terme de la Formule. De même pour élèver abc à la troifiême puiffance. Ayant fuppofe ap, b = c = q, & m = 3, l'on aura après les fubftitutions a' + 3aab + 3abb + b3, 3aac-6abc3acc3 bbc + 3 bcc-c'. Il en eft ainfi 32. On fe contente quelquefois pour élever un polynome à une puissance donnée, d'écrire à fa droite l'exposant de la puissance à laquelle on le veut élever. Ains pour élever a+bau quarré, on écrit a+b pour l'ele ; m ver au cube, l'on écrit a+b; & en general, pour élever a+b à la puiffance m, l'on écrit a+b. m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif. 33. Il eft clair que pour élever une puiffance quelconque d'un polynome, formée comme on vient de dire, à une puiffance donnée, il n'y a qu'à multiplier l'expofânt de l'une par l'expofant de l'autre. Ainfi pour élever 2 2X3 6 a+b à la 3e puiffance, l'on écrira a+b =a+b. m pour élever a+b au quarré, ou à la 2e puissance, l'on écrira a+b. Pour élever a+b à la puiffance n, l'on 2m m -mn écrirà a + b Il en eft ainfi des autres. · 34. Il est encore évident que pour multiplier deux puiffances de la même quantité complexe, formées comme on a dit no. 32. il n'y a qu'à ajouter ensemble leurs expofans. Ainfi pour multiplier a+b par a+b, l'on 2+3 =a+b; a + b — cx a+b—c " 3 2 --S écrira a+b a+b a+bac m +6 m-m =a+b=1. DIVISION m ; a + bx Des quantitez algebriques incomplexes & complexes. 35. ON écrira le divifeur au-deffous du dividende en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le quotient de la divifion. En effet, puifque toute division numerique exprimée, comme on vient de dire, est égale à fon quotient, par exemple 12 = 3; 1= 5, & qu'elle peut par confequent être prife pour fon quotient; il en doit être de même des divifions algebriques. Ainfi 12 my pour divifer ab par e, l'on écrira, pour divifer aa+ par cd, l'on écrira bb aa + bb ; &c. c+d 36. Mais comme il est toujours neceffaire de réduire les quantités algebriques à leurs plus fimples expreffions lorfqu'il eft poffible, & que les divifions, ou fractions dont on vient de parler, n'y font pas toujours réduites, il faut donner les regles neceffaires pour cet effet. @ " Il y a differentes manieres, ou plutôt, il y a des cas où il faut operer d'une certaine maniere; d'autres où il faut operer d'une autre maniere pour réduire les fra. ctions, ou les divifions à leurs plus fimples termes. Nous ne donnerons à prefent que le cas où l'operation eft celle qu'on a toujours nommée division; les autres se trouveront ailleurs. DIVISION Des quantités incomplexes. 37. IL est évident (no. 14 & 15) que lorsque le dividende est le produit du divifeur par une autre quantité quelconque, le quotient sera le dividende, après en avoir effacé le divifeur. Ainfi le quotient de ab divifé par a a eft b, c'est-à-dire que = b; le quotient de abc divisé par c'est-à-dire ab ab eft c, abc ab ci de même a; que 3bb aab Il y a fouvent des nombres autres que l'unité qui précedent ou le dividende, ou le divifeur, & quelquefois tous les deux. Il faut auffi avoir égard aux fignes. Voici la regle qu'il faut observer. 44 38. On divifera par les regles de la divifion numerique, le nombre qui précede le dividende par celui qui précede le divifeur, & ( n°. 37), les lettres du dividende par celles du divifeur, & l'on donnera au quotient le figne + fi le dividende & le divifeur ont tous deux le même figneou; & fi l'un à + & l'autre l'on donnera au quotient le figne. Ainfi le quotient de 12ab par za - > ab 12ab 12 eft 46: car 4, & b, & partant 46. за Sab; 3 12abc -15a366 De même 36; -4ac заав = 4aab. Il en eft ainfi des autres. sab 26 36 12ab 39. Si le dividende & le divifeur font femblables, égaux, le quotient fera l'unité. Ainfi = 1; Ce qui fuit de ce que toute quantité se mesure, ou se contient elle-même une fois. I. 4 Izab 40. Il arrive fouvent que les nombres fe peuvent divifer, & que les lettres ne fe peuvent pas divifer; & au contraire, auquel cas il faut divifer ce qui fe peut diviser, 1246 8ahc & laiffer le refte en fraction. Ainfi 4ab 30 3 41. Lorfque ni les nombres, ni les lettres ne fe peuvent divifer, on écrit le divifeur au deffous du dividende en forme de fraction, & c'eft en ce cas qu'il eft neceffaire de prendre cette fraction pour le quotient de la divifion. Ainfi pour divifer a par b, l'on écrira; pour divifer 3ab par 2c, l'on écrira 3′′b 3c, l'on écrira зав ; pour divifer—2ab par 26 2ab l'on écrira ou écrira ou 4ab changemens de fignes que l'on vient de faire. 120366 jab & ; pour divifer sab par -20 30 ·Sab ·; pour diviser—4ab par—3c,l'on 20 On trouvera ailleurs la raifon des Si l'on multiplie le quotient d'une divifion par le divifeur, il viendra la quantité à divifer: car la multiplication, & la division ont des effets contraires, aufsi. bien que l'addition & la foustraction. 42. Il est clair (no. 21 & 37) que pour divifer une puif. fance |