b

C

plié les expofans 2, 4 & 6 par, l'on aura a ou abc3 après avoir réduit les expofans fractionnaires en entier, de forte que Va2bc' — ab2, ce qui eft évident.

=

De même, Vab = ab2 = a√b : car a eft la racine de

I

aa, ou à3, & b3eft la même chose que vb; Vab=

a

Vab; c'est-à-dire que Vab est une quantité toute

3

Va3b — = a 1⁄2 b = — a2 + 1 6

I

ab
b = =

=

={n. 23.) a√ab ; √72 a3b3 = 6ab√2ab: car il est clair par les Exemples précedens, que Vab3 = ab√ab, & je démontre que √72 62 en cette forte. Si l'on cherche (no. 56.) tous les divifeurs de 72, & qu'on examine tous les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agiffoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes, & ainfi des autres racines) on trouvera que 36 eft le plus grand.

irrationnelle;

I

I

a až b ž

=

36

=

Or 72=2 & 3 6 × 2=72; c'est pourquoi V72 peut être regardée comme le produit de V36 × √2 :mais V366; donc √72 6/2, & partant √72 a3b3 — 6ab√2ab. On trouvera de même que V12aab=2a√3b, & que √6aabc= av6bc; parceque 6 ne peut être divifé par aucun quarré. Il en eft ainfi des autres.

=

EXTRACTION

Des racines des Polynomes.

62.

.LA Méthode d'extraire les racines des Polynomes, felon la maniere ordinaire, eft femblable à celle d'extraire la racine des nombres.

EXEMPLE. I.

SOIT la quantité aa+2ab + bb + zac + 2bc + cc, dont il faut extraire la racine quarrée.

Divifeurs.

Quantité proposée. Racine, ou Quot. aa+2ab+bb+2ac +2bc + cc» ( a+b+c.

00+2a6 +2bc+cc
2ac2bc-

CC

C.

O

Je dis, le premier terme aa eft un quarré, dont la racine eft a que j'écris au Quotient, & je fouftrais le quarré de a qui eft aa du premier terme aa de la quantité propofée, en l'écrivant au-deffous avec le figne. Je réduis à la maniere de la divifion la quantité propofée, & le quarré fouftrait, & j'écris la Réduction A au- deffous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne 2a que j'écris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier divifeur. Je divife le premier terme + 2ab de la quantité A par 2a; ce qui me donne + b que j'écris au Quotient, & à la droite du divifeur 2a, & j'ai le premier divifeur complet 2a+b que je multiplie par le nouveau Quotient, & j'ai plus 2ab+bb que je fouftrais de la quantité A, en l'écrivant au-deffous avec des fignes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a + b, & j'ai 2a+26 pour une partie du nouveau divifeur que j'écris à la gauche de B. Je divife de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par 2a, ce qui me donne + c que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau diviseur 2a 2b; ce qui fait 2a + 2b + c pour le fecond divifeur complet. Je multiplie ce fecond diviseur 24

+26+c par le nouveau Quotient c, & j'ai 2ac + 2bc + cc que j'écris au-deffous de la quantité B avec des fignes contraires, & réduifant ces deux quantitez je trouve zero pour la troifiême Réduction, d'où je conclus que l'operation eft achevée, & que par confequent, Vaa + zab + bb + zac + 2bc+cc=a+b+c.

EXEMPLE I I.

- gaa

A. O

Quantité propofée. 9aa—12ab+466.

—12ab+ 4bb

+ Izab

4bb

12ab+4bb dont il faut ex

B.

Le premier terme 9aa étant un quarré dont la racine est za; j'écris za au Quotient, & fon quarré gaa au-desfous de 9aa avec le figne, & la premiere Réduction eft la quantité A. Je double le Quotient 3a, ce qui me donne 6a, qui font partie du premier divifeur, & que j'écris à la gauche de la quantité A. Je divife -12ab

par

6a, ce qui me donne-26 que j'écris au Quotient & à la droite de 6a, j'ai par ce moyen le divifeur complet 6a2b. Je multiplie 6a 26 par-26, ce qui me donne ·12ab+4bb, & j'écris + 12ab — 4bb audeffous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui fe trouve égale à zero, fait voir que la quantité propofée est un quarré dont la racine est za—26, c'est-à-dire, que V9aa — 12ab+4bb за. 26.

S'il venoit une Réduction qui ne pût être divisée par le double du Quotient, ce feroit une marque que la quantité propofée ne feroit point quarrée; & il faudroit alors fe contenter de la mettre fous le figne radical. Par

Racine, ou Quotient, (3a-26.

exemple, fi on vouloit extraire la racine quarrée de aa+bb, l'on trouveroit que la racine de aa est a: mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par 2a, ce qui feroit voir que aa + bb, n'est point un quarré, c'est pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette forte Vaa+bb. Il en eft ainfi des autres.

Au refte, il est aifé de connoître par la formation des puiffances, ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, fi une quantité propofée eft quarrée, ou cube, &c. & d'en extraire par confequent la racine fans le fecours d'aucune operation, ou par la feule inspection des termes de la quantité propofée.

•

63. Mais fans cela, & fans le fecours des Regles que nous venons de donner, l'on peut avec toute la facilité poffible extraire toutes fortes de racines, quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formule generale propofée no. 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puiffance dont l'expofant foit celui de la racine qu'on

I

veut extraire, c'est-à-dire, que cet exposant soit› fi c'est la racine quarrée;, fi c'est la racine cube; —, si c'eft la racine quarrée quarrée, &c. ce qui eft facile en fuivant ce qui eft prefcrit no. 31, comme on va voir par les Exemples qui fuivent.

EXEMPLE I.

SOIT la quantité a3 — zaab +3abb — b3 dont il faut extraire la racine cube, ou ce qui eft la même chose, qu'il faut élever à la puissance.

Ayant fait a'=p, — zaab → zabb — b3 =q, & mettant ces valeurs de p & de P dans les deux premiers termes, p + my.. 9 de la formule generale propofée no.

9

m

MI

3m

30; (car les autres termes font inutiles, lorfque les raci nes qu'on veut extraire, font rationnelles ;) l'on aura a X- 3aab+3abb b, & faifant encore m

3m 3

+ma

=÷, l'on aura a + ÷ a

b+a

a. a

1

a — zaab + 3abb 63 =a-b.

la puissance 1.

2

le fecond terme — a

'b——a°b——xb——b; le

troifiême & quatriême termes font nuls. Ainfi l'on a a-b pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que

a

-2+ I

fant m =

I
29

ou a + a

EXEMPLE

II.

SOIT la quantité aa+2ab — 2ac+bb — 2bc + ce dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à

112

bb

Ayant fait aa ou a2=p,+ rab zac + bb -26c+ cc=q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux

1

MI

premiers termes de la Formule p+mp q, l'on aura

2m

2338-2

+ma × zab — zac + bb — 2bc + cc, ou en fai

I 2

a+ — a × 2ab — zac +bb 2bc + cc,

I−2+1

2

b

2

× — zaab + zabb — b3, ou

-16: mais parceque

a

a

3

; ou va3

1—2+I

G

- 3aab + abb — b3

I

c+

1

bc + = a cc. Mais parceque le fecond & le troifiême termes deviennent + b, & → c; il fuit que tous les autres termes, où b, & c fe rencontrent font nuls. Ainfi

2

aazab. zac + bb — 2bc+cc ou

Vaa+zab➡zac + bb — 2bc + cc = a + b — c.