EXEMPLE III.

SOIT la quantité 9aa + 12ab + 4b6 dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puiffance

Ayant fuppofé 9aa, ou 9a2 = p, & 12ab+4bb =q; & mettant ces valeurs de p & de 9 dans les deux premiers

termes de la Formule p+mp

a

773-L 2773 2

mng a × 12ab+4bb, ou en faifant m=

a

m

-I

m

q, l'on aura 9 a

1I

× 9 - a × 12ab+ 4bb, ou

x12ab+466: mais 92 ou V9

= =

-I

-I

I

x = a × 12ab+4bb, ou za + z a

6

3;

2 m

୨

donc 3a+

a+ × 1

× 12ab+4bb, ou

I 2

a b+÷a ̃bb, où 3a+2a ̊b+÷ a

ou

6

3a + bb: mais le second terme 2a b=1b; c'eft pourquoi ce second terme est le dernier, & le troifiême eft nul, Ainsi 44 9aa + 12ab+4b6 ou √9aa+12ab+4bb = 3a+2b.

REMARQUE.

P

64. SI dans aucun terme la valeur de m, exposant de ne fe trouvoit pointo, la racine de la quantité propo fée feroit irrationnelle, & l'extraction fe pourroit continuer à l'infini; ce qu'on appelle approximation des racines mais cela n'eft point néceffaire pour l'application de l'Algebre à la Géometrie: car lorfque la racine d'une quantité eft irrationnelle, on fe contente de l'exprimer par le moyen du figne radical qui lui convient, comme on a déja dit, & comme on pourra voir dans la fuite.

Pour

Pour s'affurer fi on a bien extrait une racine, il eft bon de l'élever à fa puiffance : car s'il vient la quantité propofée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple l'on vient de trouver 34+ 2b pour la racine quarrée de 9aa+ 12ab+4bb. Or fi l'on multiplie 3a+26 3a+ 26, l'on trouvera 9aa+12ab+4bb qui eft la quantité proposée ; c'est pourquoi l'extraction a été bien faite.

par

REDUCTION

Des quantitez irrationnelles à leurs plus fimples expreffions. 65. Il y a des quantitez complexes, comme d'incomplexes, dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée : mais il arrive fouvent que ces quantitez font le produit de la puiffance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité; & en ce cas on peut extraire la racine en partie, en mettant devant le figne radical la racine de cette puiffance, & l'autre quantité' fous le figne radical. Par exemple, il eft aifé de voir que aab + aac n'est point un quarré, & qu'on n'en peut par conféquent extraire la racine quarrée, qu'en l'écrivant fous le figne radical en cette forte Vaab+aac : mais on voit aisément que aab + aac est le produit de aa qui est un quarré, par b+c, ou que Vaab+aac =√aa × √b+c: or Vaa = a; donc Vaab + aac—a x √b+c=a√b+c ; & c'est ce qu'on appelle extraire une racine en partie, ou plutôt ce qu'on appelle réduire une quantité irrationnelle à fa plus fimple expreffion, ce qu'on doit toujours faire quand cela fe peut, foit que les quantitez foient complexes ou incomplexes.

Lorfqu'on ne voit pas par la feule infpection des termes, fi une quantité irrationnelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expreffion plus fimple, on l'examinera en cherchant (no. 56. ou 57.) tous les divifeurs qui la peuvent exactement divifer, & s'il s'en trouve quelqu'un qui foit une puiffance du même nom que la racine qu'on

veut extraire, la quantité propofée fe pourra réduire
à une plus fimple expreffion: car elle pourra être regar-
dée comme le produit de cette puiffance, & du quotient
qui vient en la divifant par la même puiffance. Par exem-
ple, s'il faut extraire la racine quarrée de a3- zaab +
3abb-b3, en cherchant tous les divifeurs de cette quan-
tité, on trouvera que aa—2ab+bb, qui eft un quarré,
en eft un, & qu'en divifant a3. 3aab + 3abb — b3 par
da 2ab+bb, il vient au quotient a —
a-b; c'est pour-
quoi Va3—zaab+3abb—b3 —√.aa—2ab+bb × √ā —b:
or Vaarab+bb=
zab+bb—a—b; donc Va3—zaab+3abb—b3
za-bva b.

―

=

Lorfqu'on trouve plufieurs divifeurs qui font des puiffances de même nom que les racines qu'on veut extraire, on ne fe fervira que du plus grand.

66. On ajoute, on fouftrait, on multiplie, & on divife les quantitez irrationnelles comme les rationnelles ; & ces quatre operations se font de la même maniere pour les unes & pour les autres: mais pour une plus grande facilité, il les faut auparavant réduire à leurs expreffions les plus fimples; & comme les quantitez irrationnelles ne different des rationnelles que par le figne radical qui cara&terise de maniere celles qu'il précède, que quand elles contiendroient les mêmes lettres que celles qui le précedent, elles ne leur feroient pas pour cela femblables; de forte que les quantitez qui font hors du figne radical, ne doivent point être mêlées dans aucune de ces quatre operations, avec celles qui font fous le figne radical.

Il faut néanmoins remarquer que les quantitez irrationnelles font femblables, lorfque celles qui font fous les fignes radicaux, ne different en rien du tout les unes des autres, & lorfque celles qui font hors des fignes radicaux ne different de même en rien du tout, ou ne different que par leurs coéficiens. Ainfi 3ava & 2a√a; za√a+b; & a√a+b; ÷ Vax-xx, & Vax 1/ font des quan

- xx,

titez irrationnelles femblables. On fuppofe que le figne radical foit le même, ce qui arrive toujours dans l'Application de l'Algebre à la Géometrie.

ADDITION

Des quantitez irrationnelles.

67. ON les écrira de fuite, ou au-deffous les unes des autres avec les fignes qu'on leur trouve, & lorsqu'elles feront femblables, on en fera (no. 11.) la réduction comme fi c'étoit des quantitez rationnelles. Ainfi pour ajouter 2a√b avec za√b, l'on écrira 2ab+3avb, qui se réduit à 5avb. Pour ajouter 3avb avec 2cvb, l'on écrira zavb + 2cvb, & il eft indifferent de laiffer ces quantitez en cet état, ou de les écrire en cette forte 3a+2cVb. Pour ajou ter avax -xx avec bvax xx, l'on écrira avax —xx

+ b√ax — xx, ou a + b Vax -xx, Pour ajouter 3avb avec 2cvd, l'on écrira 3a√b+2cvd qui ne peut point avoir d'autre expreffion.

SOUS TRACTION.
Des quantitez irrationnelles.

68. ON les écrira de fuite en changeant les fignes de celles qui doivent être fouftraites, & lorfqu'elles feront femblables, on en fera ( n°. 11.) la réduction comme fi c'étoit des quantitez rationnelles. Ainfi pour fouftraire 3avb de savb, l'on écrira savb3avb qui fe réduit à 2avb. Pour fouftraire 3av2b de 5b√26, l'on écrira 5b2b — 3a√2b, ou 5b3a√2b. Pour fouftraire-2bvax-xx de 3bvax-xx, l'on écrira 36√ax — xx+2b√ax —xx, qui se réduit à 5b√ax-xx. Pour soustraire 2cvd de 3avb, l'on écrira 3avb-2cvd, qui ne peut avoir d'autre expreffion,

MULTIPLICATION

Des quantitez irrationnelles.

69. SI les quantitez que l'on veut multiplier sont incomplexes, l'on multipliera la partie rationnelle par la rationnelle; & la partie irrationnelle par l'irrationnelle, & l'on écrira le produit des parties rationnelles devant le figne radical & le produit des irrationnelles après, & l'on réduira le produit total à fon expreffion la plus fimple. Ainfi a√bx cvbacvbb: mais √bb = b; donc acvbb=abc; d'où l'on voit que lorsque les parties irrationnelles font femblables, il n'y a qu'à multiplier le produit des rationnelles par ce qui fe trouve fous le figne radical. De même avb × √c, ou avb x IVC (car on prend l'unité pour partie rationnelle, lorsqu'il n'y en a point d'autre) avbc; 2a√b x.36, ou 2a√b × 3b√1 6ab√b;_ _2a√bc x b√ab = 2abyabbc = zabb√ac; 2a√3 bc × 3 b√6ab =6aby 18 abbc18abb√2ac; a√2b × 2b√3c — 2ab√6bc. Vab × Vab =√aabb; 2a√ab × 3 b√aa—6ab√à' b — 6aabỷb. Il en est ainsi des autres.

=

=

3

3

3

=

=

X

70. Si les quantitez que l'on veut multiplier font complexes, on multipliera tous les termes de l'une par chacun de ceux de l'autre, en fuivant les regles dès quantitez incomplexes, & la Réduction des produits particuliers étant faite, l'on aura le produit total. Ainfi Vaa + bb × √aa+bb=aa + bb; Vaa •bb x Vaa-bb — — aa → bb; 2a√aa + bb x b√aa + bb =2ab+ zab3. Ceci eft évident, car lorfque la même quantité fe trouve fous le figne radical ✔, en ôtant le figne radical, cette quantité le trouve multipliée par elle-même. Ce qu'on peut encore prouver en cette forte : Vaa+bb × √aa + bb aa + bbi xaa+bb ➡aa + bb z

X 2

I

124

+

=( no. 34. ) aa + bb ī 12;

ou

➡aa + bb. Il en eft ainfi des