y eft contenu. De forte que fi l'antecedent contient deux, Ainfi triple. 10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lefquelles fe trouve le figne d'égalité ; ainsi a—b; ax— xx=yy; x = = font des équations. 11. Les deux quantitez algebriques qui se trouvent de part & d'autre du figne d'égalité font nommées membres de l'équation; celle qui le précede eft nommée le premier membre, & celle qui le fuit, le fecond. D'où l'on voit que les deux membres d'une équation font les expreffions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales. COROLLAIRE. 12. IL eft évident que deux raports égaux arithmetiques, leurs 13. Mais fi au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou géometriques, on arrange quatre termes de fuite, en forte que l'antecedent de l'un des deux raports foit le premier, fon confequent, le fecond; l'antecedent de l'autre raport, le troifiême, & fon confequent le quatrième, en féparant les deux raports par quatre points, & les deux termes de chaque raport par un feul point, en cette forte a . b :: c.d, (en supposant que a—b=c—d, ou=;); on appellera proportion, ou analogie cette difpofition des quatre termes de deux raports égaux. De forte que proportion ou analogie, n'est autre chose que l'égalité de deux raports arrangez autrement qu'en équation. Si les raports font arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique; s'ils font géometriques, on la nommera proportion géometrique. 14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci a.bc.d; on dira, fi elle eft arithmetique, a furpaffe b, ou eft furpaffée par b; comme c surpasse d, ou est surpas fée par d; & fi elle eft géometrique, on dira a contient b, ou eft contenue dans b, comme c contient d, ou eft contenué dans d. Mais pour abreger, soit que la proportion foit arithmetique, ou géometrique, on dit a eft à b, comme c eft à d, ou comme a est à 6, ainsi c eft à d, en observant neanmoins que le mot eft fignifie surpasse, ou est furpaffé dans la proportion arithmetique; & que dans la geometrie, il fignifie contient ou eft contenu. L'on diftingue deux fortes de proportions, tant arithmetiques que géometriques, la difcrete, & la continue. 15. La proportion difcrete eft celle dont les quatre termes font differens, comme celle ci a. b:: c. d. 16. La proportion continue, eft celle où la même quantité eft le confequent du premier raport & l'antecedent du fecond, comme celle-ci a. b :: b. c. 17. Les quantitez qui forment une proportion font nommées proportionnelles. Ainfi la proportion difcrete renferme quatre proportionnelles, & la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu eft nommée moyenne proportionnelle, arithmetique ou géometrique, felon que la proportion eft arithmetique ou géometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion, le premier & le dernier termes font nommez extrémes, & les deux du milieu, moyens. 18. Lorsqu'une proportion continue renfermé plus de trois termes : ou plutôt lorfque plufieurs grandeurs dont A. 1. 2. 3. 4. 5, &c. D. 1. 2. 4. 8. 16, &c. I. 19. IL eft clair (no. 18.) que dans une progreffion arithmetique, l'excès d'un terme quelconque par-deffus celui qui le fuit, ou qui le précede, doit être toujours le même. De forte que fi on nomme le premier terme d'une progreffion arithmetique a; & l'excès qui regne dans la progreffion m, (m peut fignifier un nombre quelconque, entier, ou rompu, pofitif, ou negatif) l'on pourra former par le moyen de ces deux lettres, une progreffion arithmetique generale en cette forte, a. a+m. a+2m. a+3m, &c, COROLLAIRE II. 20. IL n'est pas moins évident que fi dans la progreffion geometrique, l'on divife un terme quelconque par cefui qui le fuit, la réduction, ou le quotient fera toujours le même, c'est pourquoi fi l'on nomme le premier terme d'une progreffion géometrique b, & la réduction ou quotient qui regne dans la progreffion n ( n fignifie un nombre pofitif, entier, ou rompu), l'on pourra former une progreffion géometrique generale, en cette forte, b b b. b ni , &c. car fi une quantité & divifée par une autre, donne au quotient n, la même quantité 6, divifée par le quotient n donnera cette autre. 21. Ceci fe peut auffi appliquer aux proportions tant arithmetiques que géometriques. Soit par exemple, la proportion arithmetique fuivante a. b: c. d; fi l'on nomme a-b, ou b —b, ou b—a, m; c-dou d-c fera auffi m; donc a. a--- ·m :: c. c -m, ou a. a+m::c.c+m, d'où l'on voit que la fomme des extrêmes eft égale à la fomme des moyens, c'est-à-dire, a+c+m=a+m+c, puifque ces deux fommes, qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez. 2 2. De même, fi dans la proportion géometrique. suivante a. b :: c. d, on fait —=n, l'on aura auffi =n; & partant (no. 20.) a.:: c.; d'où l'on 22. n ac voit auffi que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, c'est-à-dire, : car ces deux produits qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez, n AXIOM E I. 23. SI l'on ajoute, ou fi l'on foustrait, ou fi l'on multiplie, ou fi l'on divise des quantitez égales par des quantitez égales, les fommes, ou les differences, ou les produits, ou les quotiens, feront égaux. COROLLAIRES. 1. IL fuit qu'on peut ajouter, fouftraire, multiplier, ou divifer les deux membres d'une équation par les deux membres d'une autre, chacun par chacun. Par exemple, fi a= =b, & c=d, l'on aura a+c=b+d, ou a +d b+c; ac = bd, ou ad bd, ou ad=bc; b ou C d 2o. Il fuit auffi de cet Axiome, & de ce que l'Addition & la Soustraction ont des effets contraires, que l'on peut paffer tel terme que l'on voudra d'un membre d'une équation dans l'autre en changeant fon figne, ce qu'on appelle tranfpofition. On peut même paffer tous les termes d'un des membres dans l'autre, ce qu'on appelle égaler tout à zero. Ainfi cette équation a+b―c= g fe peut changer en celle-ci a+b=g+c, ou en celle-ci a=g+c—b, ou en celle-ci a+b —c―g=0, ou o=g-a-b+c: car par exemple, dans le premier changement, on ne fait qu'ajouter e de part & d'autre du figne d'égalité, parcequ'elle y eft fouftraite, ce qui donne a+b=c+c=g+6, qui fe réduit à a+b=g+c. Il en eft ainfi des autres. changemens. c 3e. Il fuit de ce Corollaire que l'on peut changer tous les fignes d'une équation ; car il n'y a qu'à fuppofer qu'on fait paffer tous les termes d'un membre dans l'autre, & que l'on peut mettre feuls, dans un des membres, les termes qu'on veut, avec les fignes qu'on veut. 4. Il fuit encore du même Axiome, & de ce que la divifion détruit ce que fait la multiplication, & au contraire, qu'on peut délivrer une équation de toutes les fractions qui s'y peuvent rencontrer car il n'y a qu'à multiplier toute l'équation par tous les dénominateurs l'un après l'autre, ou ce qui revient au même, la multiplier une feule fois par le produit de tous les dénominateurs, & enfuite réduire (art. 1. n°. 37.) les termes fractionnaires. Par exemple, pour ôter les fractions de cette équation +8x= on la multipliera par c & puis par a, ou une feule fois par ac, & l'on aura .bcd abccd +acgx aabcx mais (art. 1. n°. 37.) =aabx, & = bccd; donc aabx+ acgx = bccd qui n'a plus de fractions. C a L'on abrege l'operation, & particulierement quand les dénominateurs font des polynomes, en écrivant les numerateurs des termes fractionnaires fans y rien changer, & en multipliant les autres termes par les dénominateurs. abx C = a aabcx ――― C abced a |
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