b-y Ainfi pour ôter la fraction de cette équation ayant multiplié c par by, l'on aura xx-aa = - aa—bc―cy. Il en eft ainfi des autres. se. Il fuit auffi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puiffance qu'on voudra d'une même lettre, qui fe trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui l'accompagnent; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puiffance: car il n'y a pour cela qu'à divifer toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où fe trouve cette lettre, & tous les autres termés dans l'autre membre, & qu'à faire enfuite la réduction. Par exemple, fi dans cette équation ax = bc, l'on veut mettre x feule dans le premier membre, l'on aura en divisant a ax en divifant tout par a-b, l'on aura ax-bx mais (art. 1. n°. 43, ou 46.) eb-bc a-b Si dans cette équation axavoir x feule, en divifant par aa bb a-b =a+b; donc xa+b. bo : mais (art. 1. n°. 37.) a Le second membre ne peut être réduit. Si dans celle-ci ax = ab + bx - be, l'on veut avoir x seule dans un des membres, l'on aura en transposant, & en fuppofant que a surpasse b, ax — bx — ab — bc, & : mais (art. 1. no. 46. ) ax a bx ab, l'on aura .b aa a-b ax -bx ab-bc aabb, l'on veut ax-bs x; donc x *, & d-b aa - bb 1214 a-b 2ax3 — Si dans cette équation aaxx+aayy — zaxyy + xxyy, l'on veut mettre yy feule dans le premier membre, l'on aura en tranfpofant aayy-zaxyy + xxyy =2ax3 — aaxx, & en divifant chaque membre par aa ― l'on aura yy = Il en eft ainfi des zax + xx, autres. AXIOM E I I. 24. LES puiffances & les racines des quantitez égales font égales. Ainfi fix=+a, l'on aura en quarrant chaque mem- zax3 - aaxx Ši yy xx, les racines feront ла, = CAD. mais (art. 1. n°. 66.) √2ax3 Vaa. 2ax3 a aaxx = x√2ax // a + 4 Si xx ax + bb, les racines feront x = V1aa+bb: car en tranfpofant, l'on a xxax bb: or fi l'on extrait (art. 1. n°. 62.) la racine du premier membre xx —ax, on trouvera qu'il y manque+aa, afin qu'il foit quarré; c'eft pourquoi en ajoutant de part & d'autre aa, l'on aura xx➡axaa = — aa+bb: I 4 C I 2 le mais Vxx -ax + ad = (art. 1. no. 62. ) .x — 14, I donc x ..2.. a ±√ 1 aa+bb. Si les fignes étoient y Ꮴ = & étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation. C'eft auffi parceque les puiffances des quantitez égales font égales, que l'on peut délivrer une équation des quantitez irrationnelles qui s'y rencontrent : ce qu'on appelle faire évanouir les fignes radicaux : car s'il ne s'y en rencontre qu'une, après l'avoir mife feule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puiffance qui a pour expofant celui du figne radical. Ainfi pour délivrer des quantitez irrationnelles, cette équation xx=a—x × √xxyy, l'on aura en divifant par a—x, xx KOS √xx+yy, ou en divifant par Vxx+yy, Vxx+yy -x, & en quarrant chaque membre, l'on aura = aa— 2ax + xx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles. xx+yy Mais s'il fe rencontre deux quantitez irrationnelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & enfuite de l'autre comme on vient de dire. Par exemple pour délivrer de quantitez irrationnelles, cette équation √xx +yy+Vaa — 2ax+xx+yyb, l'on aura en tranf √xx+yy+Vaa pofant, Vaa- zax + xx+ yy = b — √xx+yy, & en quarrant chaque membre, l'on aura aa2ax + xx+ yy = bb — 2b√xx + yy + xx + yy, & en ôtant ce qui se détruit par la réduction, & tranfpofant, il vient 2b√xx+yy — bb — aa + 2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx+4bbyy b*— zaabb + a +4abbx — 4a3x +4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles, ==== = AXIOM E III. 25. On peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle fubftituer : g 20 & 21, une Méthode pour démontrer très-facilement toutes les proprietez des proportions, & des progreffions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'eft pas affez generale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles; c'eft pourquoi je me fuis déterminé à prendre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non feulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on fe propose de démontrer par l'Algebre dans toutes les parties des Mathematiques. Voici le principe. PRINCIP E. 28. APR E's avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la confequence auffi en équation; & en fuivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corollaires, on fera en forte de rendre l'Hypothese femblable à la confequence, & alors le Theorême fera démontré. Et fi les termes de l'équation qui renfermera la confequence, se trouvent entierement femblables; de forte que par la réduction, elle puiffe devenir oo. Le Theorême fera auffi démontré: car les termes d'une équation ne fçauroient être entierement femblables fans être égaux, & ne fçauroient se détruire fans être semblables. EXPLICATION DU PRINCIPE. 10. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Confequence; l'Hypothefe eft ce que l'on y fuppofe; & la Confequence eft la verité qu'il s'agit de démontrer. 20. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothese en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aisé de changer en équation: car fi l'on a, a. b :: c. d, l'on aura (no. 11.) a—b =c-d, fi la proportion eft arithmetique, & fi la proportion eft geometrique, puifque proportion n'est autre chofe que l'égalité de deux raports, 30. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prifes arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équations, comme on verra par les Exemples. 4o. On tirera de l'Hypothese autant d'équations qu'on pourra: car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre Î'Hypothese semblable à la Confequence. Lorfqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez touchant les grandeurs inégales, & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothefe, & la confequence par le moyen du figne >, ou <, en cette forte a > ou <6,—> ou <-, & on se servira de ces expreffions, que l'on pourroit appeller inégalitez, comme fi c'étoient des équations: car il eft clair qu'on peut ajouter, fouftraire, multiplier, & divifer les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puiffances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, ( si ce n'est par addition & par multiplication: car quoique 12 8 & 6 > 1, l'on a 12—68 — 1 & 2) fans que le membre le plus grand ceffe d'être le plus grand; de forte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Confequence, ou la Confequence femblable à l'Hypothese, que fi c'étoit des équations, & de démontrer par confequent toutes les proprietez des raports inégaux, de la même maniere que celle des rapports égaux. 5o. Il est quelquefois à propos & même neceffaire, pour rendre plus facilement l'équation qui renferme l'Hypothese semblable à celle qui renferme la Confequence, de nommer les grandeurs proportionnelles, comme nous avons dit no. 19, 20, 21 & 22; & de nommer par les mêmes lettres les quantitez inégales qui ne font point proportionnelles, en caracterifant les unes par quelque figne, ou par quelque lettre qui faffe voir leur inégalité. Par |