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b-y

Ainsi pour ôter la fraction de cette équation ayant multiplié e par b-y, l'on aura xx-aa=bc-су. Il en est ainsi des autres.

se. Il suit aussi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puissance qu'on voudra d'une même lettre, qui se trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui l'accompagnent; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puissance: car il n'y a pour cela qu'à diviser toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où se trouve cette lettre, & tous les autres termés dans l'autre membre, & qu'à faire enfuite la réduction. Par exemple, si dans cette équation ax = bc, l'on veut mettre * seule dans le premier membre, l'on aura en divisant

toute l'équation par a,

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bc

a

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= x; donc x=! Le second membre ne peut être réduit.

a

Si dans celle-ci ax = ab + bx - bc, l'on veut avoir x seule dans un des membres, l'on aura en transposant, & en supposant que a surpasse b, ax - bx = ab- bc, &

en divisant tout par a - b, l'on aura

ax-bx

ax-bx

a-b

ab-bc

a-b

mais (art. 1. no. 43, ou 46.) =x; donc x =

eb-bc

a-b

a-b

Si dans cette équation ax - - bx=aa

bb, l'on veut

avoir x seule, en divisant par a-b, l'on aura

=

aa-bb
a-b

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=a+b; donc x=a+b.

a-b

ax-be

a-b aa-bb a-b

:

Si dans cette équation aaxx+aayy - 2ax2-2axyy xxyy = o, l'on veut mettre yy seule dans le premier membre, l'on aura en transposant aayy - 2axyy + xxyy === 2ax' aaxx, & en divisant chaque membre par aa

4

3

2ax + xx, autres..

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Il en est ainsi des

24. LES puissances & les racines des quantitez égales font égales.

Ainfi fix = + a, l'on aura en quarrant chaque membre xx=aa; & fi Xx aa, les racines feront x=+a; fi xx = ab, les racines feront x=+Vab. Sixx= Fab, les racines feront x=+-ab, qu'on appelle racine imaginaire, parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, relles font toutes les quantitez irrationnelles negatives.

Si yy

.I

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mais (art. 1. no. 66.) √2ax3
Vaa – 2ax + xx = a-x; donc y

=

a-x

: Si xx = ax + bb, les racines feront x ===

4

a xx- ax.

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:

&

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a t

66:

Vaa+bb: car en en transposant, l'on or fi l'on extrait (art. 1. no. 62.) la racine du premier membre xx - ax, on trouvera qu'il y manque +aa, afin qu'il soit quarré; c'est pourquoi en ajoutant de part & d'autre aa, l'on aa+bb: mais Vxx

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(art. 1. no. 62.) & la racine du second membre ne s'extrait que par le

I

moyen du signe radical; done x-a=+√aa+bb

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étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'est aussi parceque les puissances des quantitez égales font égales, que l'on peut délivrer une équation des quantitez irrationnelles qui s'y rencontrent : ce qu'on appelle faire évanouir les fignes radicaux: car s'il ne s'y en rencontre qu'une, après l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui a pour exposant celui du signe radical. Ainsi pour délivrer des quantitez irrationnelles, cette équation xx =a-xx

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√xx + yy, ou en divisant par √xx + yy, vxx+yy -x, & en quarrant chaque membre, l'on aura

a

xx+yy

aa - 2x + xx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles.

Mais s'il se rencontre deux quantitez irrationnelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & ensuite de l'autre comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantitez irrationnelles, cette équation √xx+yy+√aa - zax + xx+yy=b, l'on aura en tranfposant, Vaa - zax + xx + yy = b - √xx + yy, & en quarrant chaque membre, l'on aura aa - 2ax + xx + yy 2b√xx + yy + xx+yy, & en ôtant ce qui se détruit par la réduction, & transposant, il vient 2bv xx+yy =bb-aa+2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx+4bbyy=b-zaabb + a + 4abbx-4ax + 4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles,

=

bb

AXIOME III.

25. On peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle substituer:

20 & 21, une Méthode pour démontrer très-facilement toutes les proprietez des proportions, & des progressions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'est pas affez generale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles; c'est pourquoi je me suis déterminé à prendre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non seulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on se propose de démontrer par l'Algebre dans toutes les parties des Mathematiques. Voici le principe.

PRINCIPE.

28. APRE'S avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la consequence aussi en équation; & en fuivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corollaires, on fera en forte de rendre l'Hypothese semblable à la consequence, & alors le Theorême sera démontré. Et si les termes de l'équation qui renfermera la consequence, se trouvent entierement semblables; de forte que par la réduction, elle puisse devenir o = 0. Le Theorême sera aussi démontré: car les termes d'une équation ne scauroient être entierement semblables sans être égaux, & ne sçauroient se détruire sans être semblables.

EXPLICATION DU PRINCIPE.

10. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Consequence; l'Hypothese est ce que l'on y suppose; & la Consequence est la verité qu'il s'agit de démontrer.

20. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothese en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aisé de changer en équation : car fi l'ona, a. b :: c. d, l'on aura (no. 11.) ab

a

=c-d, fi la proportion est arithmetique, & ÷=÷,

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d

si la proportion est geometrique, puisque proportion n'est autre chose que l'égalité de deux raports,

30. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prises arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équations, comme on verra par les Exemples.

40. On tirera de l'Hypothese autant d'équations qu'on pourra: car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre Hypothese semblable à la Consequence.

Lorsqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez touchant les grandeurs inégales, & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothese, & la consequence par le moyen du signe, ou <, en cette forte a >

6

d

ou <6> ou <÷, & on se servira de ces expressions, que l'on pourroit appeller inégalitez, comme si c'étoient des équations: car il est clair qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, & diviser les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puissances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, (si ce n'est par addition & par multiplication: car quoique 1 2 > 8 & 6 > 1, l'on a 12 - 6 < 8-1 &<) sans que le membre le plus grand cesse d'être le plus grand; de forte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence, ou la Consequence semblable à l'Hypothefe, que si c'étoit des équations, & de démontrer par confequent toutes les propriétez des raports inégaux, de la même maniere que celle des rapports égaux.

5o. Il est quelquefois à propos & même necessaire, pour rendre plus facilement l'équation qui renferme l'Hypothese semblable à celle qui renferme la Consequence, de nommer les grandeurs proportionnelles, comme nous avons dit no. 19, 20, 21 & 22; & de nommer par les mêmes lettres les quantitez inégales qui ne font point proportionnelles, en caracterisant les unes par quelque figne, ou par quelque lettre qui fasse voir leur inégalité. Par

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