duite en proportion, il faut que chaque membre foit le = C 3. Il fuit auffi qu'un raport ou une fraction comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres car faifant ==x, l'on aura en multipliant par ab C ab ab c, ab= cx ; donc (no. 31.) c. a :: b. x, ou c.a :: b. en ab C remettant pour x fa valeur 4. Il fuit auffi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, font proportionnelles, c'està-dire que a. b: c. d, elles feront auffi proportionnelles dans les quatre variations fuivantes. 1. a. cb. d, ce qu'on appelle, permutando. 2. b. a: d. c, ce qu'on appelle, invertendo. 3. a+b.b :: c+d.d, ce qu'on appelle, componendo. " bc, 4. a - b. b:: c-d. d, ce qu'on appelle, dividendo. Car fi les équations que l'on tirera (n°. 29.) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le feront auffi. 'Or la premiere & la feconde analogie donnent ad = la troifiéme donne ad + bd = bc + bd, & la quatriéme ad -bdbc-bd: mais l'Hypothese a. b:. c. d,donne ad=bc, qui eft la premiere équation, & qui montre par confequent la verité des deux premieres analogies. Si l'on ajoute, & fi l'on fouftrait bd de chaque membre de l'équation ad bc tirez de l'Hypothefe, l'on aura ad +bd=bc+bd, & ad — bd = bc-bd, qui font femblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par confequent voir la verité. Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité. THEOREME A III. SI 32. I deux grandeurs quelconques a &b, font multipliées par une même grandeur C, rationnelle, ou irrationnelle, les produits ac & bc, feront en mème raison que les mêmes quantitez a & b. Il faut prouver que ac. bc:: a. b, ou, afin que la confequence foit en équation, que (no. 29.) abc= abc. Parceque les deux membres de cette équation font femblables, il fuit (no. 29, & 3 1.) que ce qui étoit propofé eft vrai. COROLLA I RES. 1er. Il est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux confequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, fans que ces raports ceffent d'être égaux. 2. Et parceque les raports, ou les divifions indiquées font des fractions, il fuit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra, fans que cette fraction change de valeur. Ainsi ac a b bc en multipliant les deux termes par c. 3. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien, c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une fraction, b dont le dénominateur fera telle quantité qu'on voudra. ab b a Ainfi a ou-= en multipliant chaque terme par b.. I 4. Il fuit auffi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs femblables, lorsqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à même dénomination: car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainfi pour réduire à même dénomina ab df tion & , ayant multiplié les deux termes de la pre g miere par g, & ceux de la feconde par c, l'on aura & S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les &cdf cg cg b с deux termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainsi pour réduire, en même déno. mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la feconde par dg, & ceux de la troifiême afg bdg cdf f g par df, l'on aura ――― dfg dfg dfg Il se trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, fans les changer toutes d'expreffion. abb gh Ainfi & feront réduites en même dénomination, C abg cd en multipliant les deux termes de la feconde par d: car dgh l'on aura cd 5. Il fuit encore que c'est la même chose de divifer le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier fon numerateur par la même quan ab abd. abd tité. Ainfi cd b THEOREME IV. Si l'on divife deux grandeurs quelconques a &b par une 33. I mème grandeur C, rationnelle ou irrationnelle; les quotiens feront en même raison que les premieres grandeurs , & a & b. Il faut prouver que :: a. b, ou, ayant suppose b p, & q, que p. qa. b, ou afin C fequence foit en équation, que bp=aq. La premiere équation (Axio. 1. Coroll. 4.) donne a=cp, & la feconde, b=cq, d'où l'on tire (Axio. 1. Coroll. i.) acq=bcp, ou en divisant par c, aq=bp; donc (Th 2. ) p.q: a. b, ou :: a. b, en remettant pour p, & a b leurs valeurs a C A C & pour q, On pourroit démontrer ce Theorême en cette forte. b ab ab La Confequence :: a. b; donne (Theor. 1.) с b qui est une équation évidente par elle-même. 2. C'eft auffi par le moyen de ce Theorême que l'on réduit les raports ou fractions à leurs plus fimples expreffions. Ce qui fe fait en divifant l'antecedent & le confequent de chaque raport par une même quantité, que l'on nomme, commun divifeur, & les deux quotiens forment un autre raport, ou fraction égale à la proposée, mais plus fimple. Or il eft fouvent aifé d'appercevoir ce commun divifeur, & particulierement quand les deux termes du raport que l'on veut réduire font incomplexes. Mais fi on ne l'apperçoit pas par la feule inspection des termes, on cherchera (art. 1. no. 56. ou 57.) tous les divifeurs de l'antecedent, & tous ceux du confequent; & les diviseurs de l'antecedent qui fe trouveront auffi parmi ceux du confequent, feront des diviseurs communs; mais on ne se fervira que du plus grand: s'il ne s'en trouve aucun parmi ceux de l'antecedent, qui fe trouve auffi parmi ceux du confequent, la fraction ne pourra être réduite à de plus fimples termes. ab se réduit, ou est égal à “ en divi EXEMPLE 4c C abcvabd abvbd Exemple tionnelles par c, & les irrationnelles par Va. cxVag xVg abcVabc abvac Exemple 3. a3 Exemple 4. I. Exemple 5. EXEMPLES. aab par a': Mais (art. 1. no. 22.) a a3 = 1, ce que nous avions fuppofé dans l'endroit que nous venons de citer. 15bc = 1, en divisant les deux termes a3 mais (art. 1. n°. 22.) as 25ab sa Exemple 6. en divifant chaque terme par 56. en divifant les parties ra en divisant les parties ra a a 3-3 en divifant chaque terme par a': ac bb b par Exemple 7. Exemple 8. terme par le commun divifeur a-b. aa-bb = a; donc -2 en divifant chaque terme > en divifant chaque |
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