THEOREME V. I 34. Si l'on divife une mème quantité a, par des quantitez differentes b&c, les quotiens feront reciproquement proportionnels à leurs divifeurs. Il faut prouver que =1, & quence foit en équation, que bp=cq. La premiere fuppofition donne a = bp, & la feconde a=cq; donc (Axio. 3.) bp=cq; & partant (Theor, 2.) :: c. b, en remettant pour p, & a a p. q:: c. b, ou b b = q, que p. q: c. b, ou afin que la confe A d .:: c. b, ou, ayant supposé b C pour q, leurs valeurs, & 2. C. Q. F. D. b C On pourroit démontrer plus fimplement ce Theorême: car la confequence .::c.b donne (Theor. 1.). a a ab C b b ou (art. 1. no. 37.) aa, où, a—a—0, ou o=0. O. . A A THEOREME V I. 35. SI trois grandeurs a, b, c, font en proportion continue, la premiere a, fera à la troisième c, comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la feconde bb. Il faut prouver que a. c :: aa. bb, ou afin que la consequence foit en équation, que aac—abb. L'on a (Hyp.) a. b :: b. c; donc ac= bb, & partant aac abb en multipliant chaque membre par a. C. Q. F.D. ac THEOREME VII. 36. LORSQUE plufieurs raports font égaux, comme &c. La fomme des antecedens a+c+d, a b d eft à la fomme des confequens b+d+e, comme celui qu'on voudra des antecedens, eft à fon confequent. = Il faut prouver que a +c+d. b + d + e :: a. b, ou, afin que la confequence foit en équation, que ab + bc +bd=ab+ad+ae, ou en ôtant de part & d'autre le terme ab qui fe détruit par la réduction, bc+ bd — ad+ae. Les deux premiers raports égaux (Hyp.) donnent ad be, le premier & le troifiême donnent ae-bd ; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) bc+bd=ad+ae. C. Q. F. D. = COROLLAIRE. 37. IL fuit de ce Theorême, que connoissant les deux premiers termes a & b, & le dernier c, d'une progreffion geometrique, on trouvera aifément la fomme de tous les termes qui la compofent: car nommant la fomme des antecedens x; la fomme des confequens fera x —a+c. Or par ce Theorême, x. x―a+ca.b; donc (Theor. 1.) bx = — ax — aa+ac ; ou, en tranfpofant, & en fuppofant ab, ax—bx= aa—ac ; d'où l'on tire (Axio. 1. Cor. 5.) Ce qu'il faloit trouver. aa - ac a→ b Si ab, ou ce qui eft la même chofe, fi la progreffion va en diminuant, & qu'on la fuppofe infinie, en faifant aa le dernier terme = o, l'on aura x = a- pour la valeur de tous les termes de la progreffion : car le terme ac fe détruit à cause de c = 0. A THEOREME VIII. 3o. LA plus grande a de deux quantitez inégales a & b a un plus grand rapport à une troisieme grandeur c que la plus petite b; & la mème grandeur C, a un plus grand raport à la plus petite b qu'à la plus grande a. b Il faut prouver, 10. Que › 2o. Que -> C a L'on a par l'Hyp. a> b; donc (par le principe pré b cedent, & fes explications) en divifant cha que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il faloit pre mierement démontrer. L'on a encore Hyp.) ab, donc en multipliant chaque membre de cette inégalité par c, & divifant chaque bc ou (art. 1. no. 37.) membre par ab, ab, l'on aura C -> -. Ce qu'il faloit en second lieu démontrer. a · Nous avons fuppofé dans la Multiplication, & dans la Divifion, que + × +, &x donnoit donnoit +; & que+ x—, ou — x + donnoit. En voici la preuve, en fuppofant feulement que + x + donne +, dont perfonne ne doute. ac > ab ab 39. Soit ab à multiplier par + c. Je dis dis que le produit fera ac-bc: car ayant fuppofé a-b=p; l'on aura en transposant a = p + b, & multipliant cette équation parc, l'on aura ac=pc + bc ; donc en tranfpofant, ac -bc pc; donc a-bx + c = ac bc. ac -pc-bc, ac+bc. ou -- C 40. Soit prefentement ab à multiplier par-c. Je dis que le produit fera acbc: car ayant fuppofé a — b =p, l'on aura en transposant a p+b; done en multipliant parc, l'on aura (n°. 39:)· -ac + bc = — pc; donc a — -bx 41. Je dis auffi que b: car le produit du diviseur par le quotient, doit donner le dividende, ce qui n'arriveroit pas fi le quotient étoit +b: car- ax + b ab, qui n'eft point le dividende Au contraire a x − b = + ab, qui eft la quantité à divifer. ab ab 42. Il eft de-là évident que - ab d puifque dans l'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons aussi supposé ailleurs. -- a - 704 REMARQUÉ. PE. I 1o. TOUT le Calcul algebrique eft fondé fur les trois Axiomes précedens, & fur les quatre premiers Theore mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par fon moyen, on peut démontrer d'une maniere qui eft toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux, & inégaux, des proportions, & des progreffions geometriques. 2o. L'on remarquera auffi qu'en fuivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progreffions arithmetiques. 3°. Que l'équation qui exprime la confequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de fignes radicaux, & réduite à fes plus fimples termes, avant que de chercher à lui rendre femblable celle qui renferme l'Hypothefe car une équation étant vraye dans un état, elle le fera dans tous ceux qu'elle eft capable de recevoir. • Il s'agit prefentement d'ajouter, fouftraire, multiplier, divifer, & extraire les racines des raports, ou fractions. ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. Po OUR les ajouter, on les écrira de fuite fans changer aucun figne; & pour les fouftraire, on les écrira de fuite en changeant les fignes de celles qui doivent être fouftraites, foit que leur dénominateur foit le même, ou non. On leur donnera enfuite un même dénominateur; & après avoir réduit (art. 1. n°. 11. ) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs femblables, on prendra pour la fomme, ou pour la difference, celles des deux expres fions qui fera la plus fimple. ༡॰.;! POUR ajouter aab+ at zaabb +b+ aabb ter EXEMPLES. ad ab C Pour ajou C aabb aab4 azaabb + b* ou après les avoir réduites en même déno mination avec l'on aura avec aa abad l'on écrira mination, a^ — 2aabb +b+ qui eft une expreffion plus fimple que la premiere. aa- bb Pour fouftraire de bc C aac bbcaad bbd — abc d CC cd aab a'bb — aab↑ ab , ou, après leur avoir donné un même dénominateur d b (art. 1. n°. 11.) fimple. MULTIPLICATIO N. 44.ON multipliera les numerateurs, & enfuite les dénominateurs l'un par l'autre ; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à fon expreffion la plus fimple. bc .bbcd b ac Soit à multiplier par - c-d Il faut ab ab acc d =q⋅ = prouver que =pq= bd La premiere fuppofition donne ac bp, & la fecon= bc = dq; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) abcc = bdpq ; de, C. Q. F. D. ab ac abcc donc (Axio. 1. Coroll. S⋅ ) == p q = — bd d ou (Theor. 3. Coroll. 3.) abbacd bd cd De même xb+ abs-abcd bc termes par 6. Par la même raifon b xd, ou DEFINITION. — d at bb at — 2aabbb4 , l'on écrira La premiere expreffion eft la plus b abce ac Ayant suppose — =1, & b bb b raport doublé, où raifon doublée, acc d de deux raports differens & =/; ; b 45. LE produit est appellé raport compofe, ou raifon compofée; & le produit aa a d'un raport multiplié par lui-même, eft appellé en divifant les deux abd |