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que dans un triangle sphérique quelconque les finus des angles font entr'eux, comme ceux des côtés oppofés. C.Q.F.T.

PROBLEME II.

213. Connoiffant deux côtés & l'angle compris, trouver 1o, un angle quelconque; 2°, le troifieme côté. (fig. 17.)

b

Soient AB & AC les côtés connus avec l'angle BAC compris entre ces côtés ; & cherchons d'abord l'angle B. A cause des triangles femblables GKB, GHO, on aura GK: KB :: GH: HO; ou b:a::g: 48; de plus on a par construction Gr: Gd:: /H: CH; our : q:: f:fq; donc CO ou CH+HO=1+; ag ; encore il eft vifible que l'angle OCX du triangle rectangle CXO eft égal à l'angle AGB; or on a dans ce même triangle CXO, R: cofin AB :: CO: CX. Donc CX= bfq

ag

r

r

b

rr

+ Enfin à cause que les lignes ƒX, CX; MG, nG font proportionnelles par conftruction (no. 161) on aura ƒX CX:: MG: nG, ou analytiquement c = ff(n°.212): bfq + ag::r: n; d'où l'on tire "fp

m

bfq

rr

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m

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n bfq+agr

les deux termes de la fraction qui eft le fecond mem

bre de l'équation parf, on aura enfin m

c'est-à-dire, tang B=

C. Q. F. 1°, T.

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bq+agr

RR × fin A

f

n

fin ABx cot AC + cos AB × cof A

2o. Pour avoir le troifieme côté BC, il n'y a qu'à regarder le finus de ce côté comme inconnu, en met

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bfq, d'où l'on tire fin BC

rn

cof ABx cof A x fin AC

cof AC× finAB
+
cofB

Rx cofB

COROLLAIRE.

C. Q.F. 20, T.

214. Il est aifé de voir que felon les côtés que l'on fuppofera connus avec l'angle compris; on trouveroit pour chaque angle des formules femblables à celles que nous avons trouvées pour l'angle B, ainfi l'on aura les formules fuivantes.

Tang B=

RR × fin A

fin AB cor AC + cos AB × cof A
RR x fin C

fin BC x cot AC + cof BC x cof C

Tang C=

RR X fin A

fin AC x cot AB + cof AB x cof A
RR ×fin B

fin BC x cot AB + cof BC x cof B

Tang A=

RR × fin C

fin AC x cot BC + cof AC x cof C
RR x fin B

fin AB x cot BC + cof AB x cof B

On doit remarquer que la plupart de ces formules changeront de figne, fuivant les différentes combinaisons des angles aigus ou obtus; ainfi lorfqu'on voudroit en faire l'application à quelque cas particulier, il faudroit y avoir attention. Par exemple, fi l'on cherche l'angle B du triangle BAC (fig. 18.) dont on fuppofe les côtés AB, AC connus avec l'angle A qu'ils comprennent, on crouvera comme dans la figure 17, HO = 4, CH=

; mais CO est égal à HO-CH. Ainfi la tangente

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de l'angle B devient =

RR ×fin A

fin AB X cet AC- cos AB × cos A
H

Pareillement le terme cof ACx cof A deviendroit néga tif dans la formule qui donne la tangente de C.

PROBLEME III.

215. Suppofant les mêmes données qu'au problême précédent, il faut trouver le troifieme côté indépendamment des angles adjacents à ce côté.

SOLUTION.

Pour la facilité du calcul, nous fuppoferons que les deux côtés connus font AB & BC, avec l'angle B qu'ils comprennent (fig. 17 & 18). Il eft vifible que tout fe réduit à trouver le finus IH ou le cofinus GH du côté AC. Cela posé dans le triangle rectangle CXO; l'on a cof AB fin AB:: CX: XO oub:a:: :

acn

br

acn

cn

05 donc GO ou GX+XO=d+. Enfin au triangle rectangle GHO, l'on a R: cof AB:: GO: GH; & mettant les valeurs algébriques, r:b::d+ =cof AC. C. Q. F. T.

acn bd acn

br

rr

=

COROLLAIRE I.

216. Donc en général dans un triangle fphérique quelconque, on aura les formules fuivantes pour trouver un côté quelconque, lorfque l'on connoît les deux autres, & l'angle compris.

Cof AC

Cof AB=

Cof BC=

217.

+cofBx fin ABx fin BC+Rx cof AB x cofBC

RR

±cofC×fin AC× fin BC + Rx cof ACx cofBC RR

+cof Ax fin AB× fin AC+ Rx cof AR × cofAC

ᎡᎡ

COROLLAIRE II.

Il fuit de ces formules que fi l'on nomme V

le finus-verfe d'un angle quelconque C; on aura V= Rx cof (BC-AC)- cof AB Pour le démontrer, dans fin ACx fin BC

l'expreffion de cof AB trouvée au dernier corollaire, il n'y a qu'à mettre R-Và la place de cof C, & l'on aura cof ABX RR= cof AC × cof BC × R+fin AC × finBC XR-fin AC x fin BC× V; mais (no. 24.) cof AC x cof BC+fin AC x fin BC= Rx cof (BC-AC); donc en substituant cette valeur après les réductions orR2 x cof(BC-AC) — cof AB

dinaires, on trouvera V = 2Rx cof(BC-AC) — cof AB cof(BC-AC) cos (BC+AC)

fin AC × fin BC en mettant pour fin AC x-·

fin BC fa valeur déduite de ce que l'on a démontré au no. 26.

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COROLLAIRE III.

218. Si dans le numérateur de la premiere valeur de V à la place de cof (BC-AC) cof AB, l'on fubftitue fa valeur tirée de ce que l'on a démontré au no. 58. On aura cette nouvelle expreffion

V

2Rx(fin (AB+BC-AC) × fin (AB+ AC÷BC).). fin ACx fin BC

& parce que l'on a fait voir (n°.22.) que fin. verfe d'un angle 2 fin angle

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R

on aura par cette derniere fubftitution

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-AC)xfin

Vfin AC × fin BC

),

AB+AC+BC_BC)

2

qui eft la formule que nous avons déja trouvée dans le fecond Chapitre pour avoir un angle quelconque d'un triangle dont on connoît les trois côtés; ce qui fait voir comment on peut découvrir toutes les formules en ufage par l'analyse algébrique.

Hij

SCHOLI E.

219. Suppofant toujours que l'on connoît les deux côtés d'un triangle & l'angle compris, on pourroit chercher le troifieme côté par fon finus. Ainfi connoiffant les côtés AB, AC du triangle BAC avec l'angle A qu'ils comprennent, on pouroit demander le finus du troifieme côté BC, & l'on trouveroit

+

C

√ b2ƒ2q2+2abfgqr+a2g2r2+p2ƒ2y2

rr

; expreffion, comme l'on voit, trop compliquée pour en faire ufage dans la pratique des calculs.

PROBLEME IV.

220. Connoissant deux angles fur un côté, trouver 1°, un côté quelconque ; 2°, le troifieme angle.

SOLUTIO N.

Soit AB le côté donné avec les angles A & B fur ce côté; & foit AC l'un des côtés que l'on demande dont il faut par conféquent regarder le finus ou cofinus comme inconnu. J'aurai d'abord ƒX ou fin BC =Pƒ (no.211.)

ag

m

+

je cherche enfuite l'expreffion de HO par cette analogie cof AB: fin AB:: GH: HO, ou b:a::g:=HO. Nous avons auffi CH=f2; donc CO HO CH 【 fig. 17 & 18) = 48 +f2; mais au triangle rectangle CXO, l'on a R: cofAB:: CO: CX, & en mettant les valeurs analytiques la proportion deviendra... r: b: 18 - fq. 48 + = CX; enfin à caufe des

r:b::

b

bfq

rr

r

lignes proportionnelles MG, nG; fX, CX, on aura cette derniere analogie R: cofB:: fin BC ou fX: CX;

& par algebre r; n::

bfq, d'où l'on tire

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ag

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nfp

m

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