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n

f

=ag±bf¶, & par les réductions ordinaires £

arr

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m

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: c. à d. en fubftituant les valeurs des lettres.

tangente AC=

Le figne

RR × fin AB

cot B x fin A cof AB x cofA -a lieu lorfque l'angle A eft obtus, & c'est le figne+lorfque cet angle eft aigu. On trouveroit pa¬

reillement tang AB=

& tang BC=

RR × fin AC

cot Cxfin A cof AC x cofA RR × fin AB

C. Q. F. 1°. T.

cot Ax fin B cofAB x cof B 2o. Pour avoir le troifieme angle C, après avoir trouvé l'un quelconque des deux côtés; foit reprise l'éag +bfq, de laquelle foit tirée une

quation

valeur de

nfp

m:

a m

f.

= ag

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ou fin C-fin Axco/B.

cof AC

a m

cof AB x cof AxfinВˆ

Rx cof AC

PROBLEME V.

rnp+bmq

gr

•C. Q. F. 20. T.

221. Suppofant les mêmes données qu'au problême précédent, trouver le troifieme angle fans y employer d'autres expreffions que celles du côté & des angles donnés.

SOLUTION.

Pour trouver plus aifément les formules dont nous avons befoin, nous fuppoferons que les deux angles connus font A & C avec le côté AC; ainfi l'angle B eft celui qu'on demande, dont il faut par conféquent traiter le finus m & le cofinus n comme inconnus. Nous aurons

d'abord par la proportion connue entre les finus des angles & ceux des côtés oppofés, fin AB ou BK

Pf

m

fh

m

& fin BC ou ƒX=1; cela pofé dans le triangle GHO, fX l'on a cof AB: fin AB :: GH: HO our`m` − ƒ3h3•fh

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fin AC: CH our:q:: f:

HỌ+CH.

HO

gfh

fa

= CH, donc CO =

fq

+ ; & à cause du trianr √ r2m2 - ƒ2h2

gle rectangle CXO, on a R: cof AB:: CO: CX; & en

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fq. fgh

mr

+

fqvr2m2-f2h2 CX; enfin à caufe des proportionnel

mrr

les MG, nG,fX, CX, on aura R: cof B::ƒX:CX,ou pf.fghfqVr2m2-f2h2, d'où l'on tire cette

rin::

m mr

pfn

+

mr r

équation

fgh

ĦV r2 m2-f2h2: divifant cha

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mr

que membre par, & faisant difparoître le radical, on

aura p2n2—2pghng2h2— q2m2

2

f2h2q2

; mettant en

core à la place de m2 fa valeur r2-n2, & faifant attention que p+q2=r2, on aura après avoir tout divisé ƒ1h2q`; enfin

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complettant le quarré fuivant les regles ordinaires des équations du fecond degré, on trouvera, après différentes réductions & fubftitutions, que l'équation de

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REMARQUE.

On auroit pu éviter tous les calculs que nous avons eu à faire pour réfoudre le dernier Problême, en fe fervant d'un triangle dont toutes les parties feroient fuppléments de celles du triangle BAC, & appliquant à ce triangle la formule de l'art. 215. pour en tirer par les fubftitutions convenables la valeur du cofinus de l'angle cherché; mais j'ai mieux aimé trouver cette valeur directement, pour faire entendre davantage ces fortes de folutions analytiques.

COROLLAIRE.

222. De la formule

tang AC:

RRx fin AB cot BxfinAcofAB×cosA donnée au no. 220. on tirera aifément les valeurs fuivantes de la cotangente d'un côté quelconque, en renver

fant la fraction, & mettant cot AB

pour

cot Bx fin A

cof AB
fin AB

& l'on

fin AB

cot AB x cof A=

trouvera cot AC=

cot Bxfin C fin BC

cot BC x cof C.

PROBLEME VI.

223. Connoiffant deux côtés & l'un des angles oppofés à ces côtés, trouver 1°, l'angle compris entre les deux côtés; 2°, le côté adjacent à l'angle donné. (fig. 17).

SOLUTION.

Soient AB & AC les côtés qu'on fuppofe connus, avec l'angle B oppofé au côté AC; & que l'angle A foit celui qu'il faut trouver. Pour cela dans l'équation nfp

m

bfq

r

+ag ( trouvée au no. 220.) il faut cher

cher une valeur de pou de

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cofinus & la tangente de l'angle A. Pour une plus grande facilité, nous ferons la tangente m de l'angle Bt,

celle du côté AC=s, ce qui donnera d'abord

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2

P

ou en mettant r2-p2 à la place de q,

b t vr2 - p2

fecond degré p

rr

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de laquelle il faut tirer la valeur de p. Le calcul fait, on atr++btr Vr4g2 + b2x2s2—a2t2r2. On trou

trouvera p

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vera de même la valeur du cofinus de cet angle en éliminant p au lieu de q, & l'on aura cette égalité... —af2bt2±r3√r+s2 + b2 t2s2— a2¿2r2, d'où il feroit sx (rt + b2 t2)

1

4

aifé de déduire l'expreffion analytique de la tangente du même angle. C. Q. F. 1°. T.

2o. Suppofant toujours que les côtés donnés font AB, AC avec l'angle B ; & qu'il faille trouver le côté BC, il eft vifible que tout fe réduit à trouver le finus fX ou le cofinus GX de ce côté. Pour cela dans pfn bfq

l'équation

m

r

ag dont nous
dont nous avons fait

ufage, je chaffe les inconnues p & q au moyen de leurs

cf

valeurs & V, f, dans lefquelles c doit être

m

m2

regardée comme inconnue ; ce qui donnera

bf

mr

cffn

mm

r2m2-c2f2ag, d'où il feroit aifé de tirer une valeur de c fuivant les regles ordinaires ; mais comme on arriveroit à une expreffion affez compliquée, il faut voir fi l'on n'en pourroit pas trouver de plus fimple en fuivant l'analyse indiquée par la figure 17. Cela pofé, dans le triangle rectangle GXT, on aura cof AB:R::GX:GT; oub:r::d:4; donc TH=GH GT g

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le même triangle donne encore cof AB fin AB::

GX: TX; ou b:a::d: ad; & à cause du triangle rectangle CHT, on a fin AB: R:: TH: CT, ou ar:: drr. Donc CT+TX ou CX =3r

g

rd gr

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b

drr ad

a

ab +σ =

Ъ

ab

gr-bd

a

gr

a

; enfin à caufe des ordonnées au

cercle & à l'ellipfe GM: Gn::fX: CX; ou en lettres r:n::V-dd: gr-bd; d'où l'on tire fur le champ

a

any rr- da:= grr bdr; équation au cofinus de BC beaucoup plus fimple que la précédente, & de laquelle on déduira d —r3bg ± anr Vr2b2 + a2n2¬r2g2: on trou

r2 b2 + a2n2

veroit de même en réfolvant une autre équation du fecond degré que

fin BC ou c =

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l'on tireroit auffi une valeur de la tangente du même côté BC. C. Q. F. 2°. T.

PROBLEME VII,

224. Connoiffant deux angles & l'un des côtés oppofés; trouver 10, le côté adjacent; 2°, le troifieme angle ; 3o, le troifieme côté. (fig. 17).

SOLUTIO N.

Soient A & B les deux angles connus avec le côté AC oppofé à l'angle B, & le côté AB eft celui qu'on veut trouver. Pour cela dans l'équation

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qui renferme toutes les données du Problême avec le finus a & le cofinus b du côté inconnu AB, il n'y a qu'à chercher l'une ou l'autre des quantités a & b traitée comme inconnue. Et pour fimplifier le calcul autant qu'il fera poffible, on divifera d'abord chaque membre de

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