Imágenes de páginas
PDF
EPUB

l'équation par ƒ, puis en mettant t puis en mettant t pour la cotangente la cotangente de l'angle B,

E du côté AC, & s pour

[ocr errors]

n

m

f & faifant le finus total égal à l'unité, l'équation deviendra bqat=ps ouq Vrr-aapsat, d'où l'on tire aifément en élevant tout au quarré, & réfolvant l'équation du fecond degré

[merged small][merged small][ocr errors][merged small]

roit de même en éliminant a, & réfolvant une femblable équation du fecond degré

cof AB ou b = pqs + t vr2 t2 + q3r2 — p2s2 ; on aura

[ocr errors]

donc le côté AB par le moyen de ces valeurs, au moyen defquelles il feroit auffi facile de trouver l'expreffion algébrique de la tangente du même côté AB.C.Q.F.1°.T.

2o. Pour trouver l'angle C, je fais attention que l'analogie entre les finus des angles & ceux des côtés

am

f

oppofés donne fin C=; donc pour avoir l'expreffion du finus de cet angle en n'y employant que les données du problême, on n'aura qu'à multiplier le finus a du côté AB par, ce qui donnera cette expreffion

m

fin C = pst ± ¶V re2+q`r` −p2s` ×—• C.Q.F.2°.T.

[ocr errors]

m

[ocr errors]

3°. Enfin pour avoir le troifieme côté BC, il eft vifible qu'il n'y a qu'à fe fervir de l'analogie ordinaire, ce qui donnera fin BC=

[ocr errors]

C. Q. F. 3°. T.

fin AC × fin A
fin B
PROBLEME VIII.

225. Connoiffant les trois côtés d'un triangle queltrouver un angle quelconque du même triangle.

SOLUTION.

conque,

gr- bd

Soit reprise l'équation CX

trouvée au Pro

blême VI. feconde Partie. La conftruction de la figure donne fX: CX:: MG: nG; on aura donc auffi c: grr-bdr : cof B= & en fubftituant à chaque

gr - bd

a

ac

lettre fa valeur, on trouvera pour un angle quelconque B. cofAC×RR-cof AB × cof BC x R fin AB x fin BC

cof B=

de même cof A =

; on trouveroit

cof BC x RR- cof AC x cof AB XR

fin AC x fin AB

& cofC cof AB x RR - cof AC × cof BC×R

fin AC x fin BC

PROBLEME IX.

C. Q. F. T.

226. Connoiffant les trois angles d'un triangle sphérique quelconque, trouver un côté quelconque.

SOLUTION.

En fuivant toujours l'analyfe que nous offre la conftruction de la figure 17, il feroit aifé d'arriver à une équation qui renfermeroit le cofinus d'un côté quelconque, exprimé ou combiné avec les données du problême; mais au triangle DEF (fig. 11.) dont toutes les parties font fuppléments de celles du triangle BAC, & dans lequel on connoît les trois côtés, on auroit cof DF x cof DE x R- cofEFxRR

fin DFX fin DE

les arcs

cof D= ; donc puifque l'angle D eft fupplément du côté AB, & que fuppléments l'un de l'autre ont le même finus & le même cofinus, on aura par les fuftitutions indiquées par la figure, cof AB= cof Bx cof AxR-cofC×RR

fin B x fin A

,

& l'on trou

veroit de même cof AC cof Ax cofCxR-cofB>RR

fin Cx fin A

[ocr errors][merged small]

& cof BC cofB x cofCxR- cof Ax RR BC=

fin Bx fin C

PREMIER SCHOLIE.

[ocr errors]

227. Si l'on compare les folutions des problêmes VI & VII, telles que l'analyse nous les a fait découvrir avec celles que nous avons démontrées fyntétiquement dans le fecond Chapitre, on ne peut s'empêcher d'être frappé de la différence prodigieufe qui fe trouve entre les unes & les autres; on feroit même tenté de croire qu'il y a quelque maladreffe dans l'analyfe algébrique vu la complication des expreffions qu'elle nous fait découvrir. Cette différence mérite d'être examinée avec la plus grande attention, & peut nous faire découvrir des vérités intéreffantes, qui pourroient avoir des applications utiles. Je remarque d'abord que lorfque je réduis le triangle BAC (fig. 15.) en deux triangles rectangles pour en trouver les parties; fi c'eft l'angle A que je cherche, en fuppofant les côtés AB, AC connus avec P'un des angles B oppofés à l'un des côtés connus, les opérations indiquées fur la table générale des triangles obliquangles me font trouver cet angle par portions en me donnant la cotangente de la premiere partie BAD & le cofinus de la feconde partie CAD; tandis que T'analyfe algébrique ne fuppofe pas une telle divifion de l'angle BAC, & qu'elle cherche à découvrir tout d'un coup le finus ou le cofinus de l'angle entier BAC. C'est donc de cette différente maniere de procéder à la folution du problême, que vient auffi la différence des folutions qui n'eft, dans le vrai, qu'une différence apparente. Pour m'en convaincre encore plus fûrement, soit nommé x le finus de l'angle BAD; la formule

cot premier feg. de l'angle =tang angle donné x cof côté adj. donnera rVrr—xx=btx, en gardant les dénominations employées au problême VI. d'où l'on tire x ou fin BAD = & par conféquent

[ocr errors]
[blocks in formation]
[ocr errors]

La feconde formule du même

atrr

article de la même table donne cof CAD= s√ rt + b2x2

& partant auffi fin CAD

r√rts+b2x2g2 — a3t ̄r2 svrt + b2t2

donc au moyen de ces valeurs à caufe que BAC BAD + CAD, il fera facile d'avoir le finus de ce même angle tout entier par le moyen de la formule du n°. 23. fin (A+B) = fm Ax cof B±fin B× cof A

[ocr errors]

, en fuppofant que BADA &que CAD=B, d'où l'on tire fur le r3x atr+btry+s2+b2g2s2 — a2¿2x2 champ p= qui eft précisément la même que nous avons trouvé en réfolvant directement l'équation du fecond degré du problême VI, On voit donc à préfent comment ces deux solutions reviennent au même, quoique très-différentes en apparence. On voit de plus avec quelle facilité la Trigonométrie fphérique peut réfoudre par deux analogies des équations du fecond degré qui préfenteroient des radicaux très-compliqués.

Second Scholie pour les Triangles fphériques rectangles.

228. On peut encore remarquer une autre différence entre les folutions fyntétiques & analytiques des Problêmes de Trigonométrie fphérique. Les premieres ne doivent la fimplicité de leurs formules qu'à ce que l'on a commencé par les cas les plus fimples, auxquels on a ramené les cas généraux plus compofés. Dans les dernieres au contraire, on ne fuppofe la folution d'aucun cas particulier plus fimple que le général. Ces cas particuliers font tous renfermés dans la formule générale, & peuvent s'en déduire avec la plus grande facilité. Auffi rien de plus aifé que de tirer de ces formules toutes celles qui ont rapport aux triangles fphériques rectangles,

en faisant attention que le finus d'un angle droit eft égal au rayon, & que fon cofinus eft zéro. Par exemple de la formule du n° 214.

Tang B =

[ocr errors]

fin Ax RR

fin AB x cot AC + cofAB x cof A

l'angle A de 90°, on tire tang B= de même la formule du n°. 216, cof BC=

[ocr errors]
[ocr errors][merged small]

tang ACXR

fin AB

Rx cof AB x cofAC+ cof Ax fin AB x fin AC

RR

don

nera cof BC

[blocks in formation]

. Par les mêmes fuppofi

=

tions, la formule du n°. 220 donne

tang AC fin ABxtang B

R

[ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]
[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

donneront cof B= fin C x cof AC, cof C—fin B x cos AB

[blocks in formation]

De la valeur de p trouvée au n°. 223, on tire, en fuppo(tang' BC-tang' AB) R. La fin ABx tang BC

fant un angle droit fin B =

[ocr errors]

formule du cofinus dans la même fuppofition de l'angle B

=

abr2t2

droit, fe réduira d'abord à q 52b2 parce que le radical s'évanouit en comparaifon de ce terme, ce qui donne pour un triangle dont B feroit droit, Rx cof A= tang ABx cot AC; & fi c'eft l'angle A qui eft droit on aura cof B x R= tang AB × cot BC. Pareillement de la formule trouvée au fecond article du même n°. r3 bg ±√ &c.

[blocks in formation]

à caufe de no, l'on tire tout

de fuite d=5, ce qui donnera pour un triangle BAC

[blocks in formation]

Vcof1AB-cof1BC De même encore la precof AB

[ocr errors]
« AnteriorContinuar »