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miere formule du n°. 224 donne R x fin AB = tang AC x cot B, parce que le radical s'évanouit étant multiplié par q = o. Dans la feconde formule au contraire, il n'y a que le radical qui demeure, & qui

fe réduit à cette équation b =

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ou cof ABV tang2 AC - tang2 B

tang AC

; enfin connoif

fant, outre l'angle droit, les deux angles fur l'hypoté nufe, les formules du n°. 225 donneront celles-ci..

cof AB=

cof CxR
fin B

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cofAC=

cof Bx R
fin C

& cof BCX R= cot Bx cot C. D'où l'on voit qu'en jettant un coup d'œil fur toutes ces formules, il eût été facile d'arriver au Théorême de Néper par le moyen des formules algébriques, comme par les confidérations fyntétiques. Pour faire voir encore davantage la généralité de toutes ces formules, on pourroit en faire l'application aux différents problêmes de la Trigonométrie rectiligne. Les Commençants pourront s'exercer à ces fortes de recherches. Nous ajouterons encore ici quelques confidérations fur les conftructions expliquées aux numéros 204 & 205.

PROBLEME X.

229. Suppofant que d'un angle quelconque d'un triangle fphérique quelconque BAC (fig. 21.) l'on ait abaiffé une perpendiculaire fur le côté oppofé prolongé s'il eft néceffaire; Trouver en finus, cofinus, tangentes ou cotangentes. 1°, Les rapports des fegments de la bafe aux angles adjacents. 2°, Les rapports des mêmes fegments avec les côtés correfpondants. 3°, Les rapports des fegments de l'angle vertical aux côtés adjacents. 4°, Les rapports des fegments du même angle aux angles fur la bafe.

SOLUTION.

Imaginons que du point C l'on ait abaiffé la perpendi culaire CP fur le côté AB prolongé s'il eft néceffaire. Il eft vifible que les arcs AP & BP ainfi que les angles AGP, BGP mefurés par ces arcs feront les fegments formés par la perpendiculaire CP. Il eft pareillement évident que la moitié G'C de la corde G'Cg' fera le finus de cette même perpendiculaire ; & par conféquent GC fera le cofinus de ce même arc. Cela pofé; dans le triangle rectangle GHC on aura d'abord

R: ČG ou cof CP:: fin AP: CH; & à caufe des proportionnelles rG, dG, H, CH; on a ..

cofAR:: CH: fin AC ; donc en multipliant ces deux proportions par ordre on aura cette autre proportion. cof A cof CP:: fin AP: fin AC; on trouveroit de même cofB: cof CP:: fin BP: fin BC, d'où l'on tire fur le champ fin AP: fin BP::fin ACx cof A: fin BC

fin B. fin A cof B cof A tang B: tang A:: cot A: cot B; ce qui fe trouve tout de fuite, en fubftituant dans le fecond rapport fin B: fin A au lieu de fin AC: fin BC. D'où il fuit que les finus des fegments de la bafe font entr'eux comme les cotangentes des angles adjacents. C. Q. F. 1°, T. & D.

x cof B:: fin Bx cof A: fin Ax cofB::

2o, A cause que l'angle GCH eft complément de l'arc AP, & que pareillement l'angle GCX eft complément de l'arc BP, le triangle GHC donnera

R: cof CP:: cof AP: GH = cof AC. Pareillement le triangle GCX donnera R:cofCP:: cof BP: GX=cof BC; donc puifque ces deux proportions ont le même premier rapport, on aura cof AP: cof BP :: cof AC: cof BC; c'est-à-dire, que les cofinus des fegments de la bafe font comme ceux des côtés correfpondants. C. Q. F. 2°, T. & D.

On prouveroit de même qu'en abaiffant la perpendiculaire Ad fur la bafe BC on auroit fin Bd: fin C♪:: cot B: cot C & que cof B♪: cof C♪: cofAB: cofAC.

32

=

3o, Suppofons qu'en effet on ait abaiffé la perpendiculaire As, & que l'on confidere actuellement les fegments BAS, CA♪ de l'angle BAC. On a vu ci-devant (no. 206.) que Re Ad; ce qui donne égal au cofinus de cet arc perpendiculaire A♪. Cela posé, à cause des proportionnelles RG, pG; 0, Z, & parce que pG eft visiblement égal au cofinus de l'angle BA, on aura R: cof BAS:: cof As: Z; de plus à caufe que ZG = fin B (n°. 205) & que l'angle ZGC est égal au complément de AB, on aura cof AB : R :: Ž¿: fin B ; donc en multipliant ces deux proportions par ordre, on cofAB: cof BAS:: cof A♪:finB on trouveroit de même que cof AC:cofCAS:: cof Ad:finC donc on aura auffi cof BAS: cof CA♪:: fin B x cof AB: fin Cx cof AC::fin ACx cof AB: fin AB x cof AC:: cof AB cof AC

aura

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les

fin AB fin AC: cot AB: cot AC; c'est-à-dire, que cofinus des fegments de l'angle vertical font comme les cotangentes des côtés adjacents.

=

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4°, De la proportion entre les finus des côtés & les finus des angles oppofés dans les triangles rectangles AɗB, ᎪᎴᏟ, on tire fin ᏴᎪᎴ x fin ᎪᎴ : fin Box fin B, & fin ᏟᎪᎴ × fin ᎪᎴ fin C♪ x fin C; on aura donc fin BAS: fin CA♪ :: fin B♪ × fin B: fin Cd × fin C:: cof B: cof C, à caufe que fin B♪: fin C♪:: cot B: cot C, commme on l'a démontré à la fin du fecond article = c'est-à-dire, que les finus des fegments de l'angle vertical font comme les cofinus des angles fur la bafe. C. Q. F. 4°, T. & D.

SCHOLI E.

230. On voit donc comment on a pu trouver par l'analyse, foit algébrique foit géométrique,tous les Théorêmes néceffaires à la réfolution des triangles rectangles ou obliquangles; en appliquant l'une & l'autre aux constructions graphiques expliquées dans le Chapitre

I

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précédent, on verra de plus qu'il y avoit encore plufieurs moyens de découvrir toutes ces vérités. Par exemple, on auroit pu arriver aux dernieres analogies, par la confidération des fécantes intérieures dwμ, ndeo'. De même, fi l'on fait attention que les arcs py, pß font les mefures des fegments ACP, BCP formés par l'arc perpendiculaire CP avec les côtés de l'angle C, on verra qu'on auroit également trouvé les dernieres analogies par le moyen des lignes y A, l'a; ßo, f'o, confidérées comme

fécantes intérieures.

Si l'on fuppofe de plus que le triangle fphérique devienne un triangle rectiligne, il fera facile de reconnoître ce que deviennent les quatre analogies que nous avons trouvées. La premiere fin B♪: fin Cd::cot B:cot C devient B: C:: cot B: cot C, c'est-à-dire, que dans un triangle rectiligne les fegments de la bafe formés par une perpendiculaire abaiffée de l'angle oppofe font comme les cotangentes des angles adjacents. En effet, fi l'on regarde Ad comme finus total, ces lignes feront les tangentes des fegments de l'angle BAC, qui font chacun complément des angles fur la bafe. La feconde analogie devient ∞o: ∞o :: ∞o: ∞o. La troifieme donne les cofinus des fegments de l'angle vertical, réciproquement comme les côtés oppofés; ce qui fuit néceffairement de ce que les trois angles d'un triangle ne valent que deux droits. Enfin la derniere analogie devient une proportion dont les termes font identiquement les mêmes deux à deux par la même raifon, en comparant les antécédents & les conféquents entr'eux.

COROLLAIRE.

231. Si l'on fuppofe préfentement que l'arc As divife l'angle BAC en deux également, à caufe que les angles ᎪᎴᏴ, ᎪᎴᏟ qui · font alors fuppléments l'un de l'autre, ont un même finus; on aura fin A♪B : fin AB::fin BAS: fin B♪ & fin A&C: fin AC :: fin CAS;

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fin Cd. D'où il fuit que dans ce cas les finus des fegments font comme les finus des côtés qui leur font oppofés; & par conféquent dans un triangle rectiligne ces fegments feront entr'eux comme les côtés oppofés, lorfque l'on aura divifé l'angle compris entre ces côtés en deux également.

SCHOLI E.

il

232. En jettant un coup d'œil fur toutes les formules que l'analyfe algébrique nous a fait découvrir, on voit que pour trouver le logarithme de la grandeur inconnue, s'agit prefque toujours de chercher celui de la fomme ou de la différence de deux quantités données. Comme nous avons déja indiqué la méthode de faire cette opération, il nous fuffira d'en faire l'application à quelques exemples.

EXEMPLE PREMIER.

233. Suppofons qu'au triangle BAC (fig. 11.) on connoît les deux côtés AB & BC avec l'angle B qu'ils comprennent; favoir, le côté AB41° 9', BC = 71° 30' & ABC 27° 8'; l'on demande l'angle en A la formule (trouvée no. 214) fin B x RR

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par Tang A= fin ABx cot BC-cof ABX cofB; nous prenons le figne, parce que l'angle en A doit être aigu. Il eft vifible que toute la difficulté fe réduit à trouver le logarithme du dénominateur, ce qui fe fera aifément en regardant fin AB × cot BC comme un angle, & cof AB × cof B comme un autre angle, puis cherchant le finus de leur différence par la formule fin A- · fin B= 2cof (A+B)×fin (A-B) (n°. 97).

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